题目

( 2023年11月高三金太阳联考第$22$题 )

已知函数 $f(x)=\ln x-a \sqrt{x}+1, a \in \mathbf{R}$.

1. 若$f(x) \leqslant 0$, 求$a$ 的取值范围;
2. 若关于 $x$ 的方程 $f\left(x^2\right)=\mathrm{e}^{a x}-\mathrm{e} x^2$ 有两个不同的正实根 $x_1, x_2$, 证明: $x_1+x_2>2 \sqrt{\mathrm{e}}$.

题目

( 2023年11月太原市高三期中考试第$16$题 )

已知$x_0$是函数 $f(x)=x^2 e^x+\ln x$的零点, 则$e^{x_0} \cdot \ln x_0=$_____.

题目

若$m,n$为大于零的常数，过点$P(m,n)$作直线$l$,分别交$x$轴,$y$轴正半轴于$A$,$B$两点， 求$\triangle OAB$周长的最小值.

题目

( 2023年11月山西省运城市高三期中考试第$16$题 )

已知函数 $f(x)=a^2 x^2+\ln x+(\ln x+1) a x$ 有三个不同的零点, 则实数 $a$ 的范围为_____.

题目

已知双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{8}=1$, 左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$, 过点 $F_{2}$ 作一直线与双曲线 $C$ 的右半支交于 $P$ 、 $Q$ 两点, 使得 $\angle F_{1} P Q=90^{\circ}$, 则 $\triangle F_{1} P Q$ 的内切圆的半径 $r=$____.

题目

过双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点$F_2$作渐近线$y=\dfrac{b}{a} x$的垂线, 垂足为$H$, 与双曲线交于$A, B$ 两点, 若$\overrightarrow{A B}=4 \overrightarrow{H B}$,$|\overrightarrow{F_2 H}|=6$, 求双曲线的方程.

题目

( 介休一中2023年高三十月联考第20题 )

已知数列 $\{a_n\}$中$a_2=5$, 其前$n$ 项和为$S_n$, 满足 $S_n=\dfrac{(3+a_n) n}{2}$.

1. 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式;
2. 是否存在正整数 $m, n$, 使得 $\dfrac{1}{a_n}, \dfrac{1}{a_m}, \dfrac{1}{a_{3 n+1}}$ 成等差数列? 若存在, 求出 $m, n$; 若不存在, 请给出证明.

题目

( 介休一中2023年高三十月联考第16题 )

平面四边形 $A B C D$ 满足 $\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}=0,|\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{B D}|$, 则 $\tan \angle B A D$ 的值为____.

题目

已知数列$\left\{a_{n}\right\}$是等差数列$a_{2}+a_{5}=16, a_{5}-a_{3}=4$.

1. 求$\{a_{n}\}$的通项公式和$\displaystyle\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}$.
2. 已知$\{b_{n}\}$为等比数列, 对于任意$k \in \mathbf{N}^{*}$, 若$2^{k-1} \leqslant n \leqslant 2^{k}-1$, 则$b_{k} < a_{n} < b_{k+1}$.
   (i). 当$k \geqslant 2$时,求证:$2^{k}-1 < b_{k} < 2^{k}+1$;
   (ii). 求$\left\{b_{n}\right\}$的通项公式及其前$n$项和.

题目

( 2023年新高考2卷第$18$题 )

已知 $\{a_n\}$ 为等差数列, $b_n=\begin{cases}a_n-6, & n \text{为奇数,} \\\ 2 a_n, & n \text {为偶数.}\end{cases}\quad $ 记 $S_n, T_n$ 分别为数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的前$n$项和,$S_4=32, T_3=16$.

1. 求$\{a_n\}$的通项公式;
2. 证明: 当$n>5$时,$T_n>S_n$.