题目
( 介休一中2023年高三十月联考第20题 )
已知数列 $\{a_n\}$中$a_2=5$, 其前$n$ 项和为$S_n$, 满足 $S_n=\dfrac{(3+a_n) n}{2}$.
- 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式;
- 是否存在正整数 $m, n$, 使得 $\dfrac{1}{a_n}, \dfrac{1}{a_m}, \dfrac{1}{a_{3 n+1}}$ 成等差数列? 若存在, 求出 $m, n$; 若不存在, 请给出证明.
解析
- 当$n=1$ 时, $S_1=\dfrac{3+a_1}{2}=a_1 $,故$a_1=3$.
由题意
$$
\begin{equation}
2 S_n=n a_n+3 n \quad(n \geqslant 1) \tag{1}
\end{equation}
$$
由$(1)$得
$$\begin{equation}
2S_{n-1}=(n-1)a_{n-1}+3(n-1) \quad(n\geqslant 2)\tag{2}
\end{equation}$$
$(1)-(2)$注意到$a_n=S_n-S_{n-1}(n \geqslant 2)$可得
$$
2 a_n=n a_n-(n-1) a_{n-1}+3 \quad(n \geqslant 2)
$$
整理得
$$\begin{equation}
(n-2) a_n=(n-1) a_{n-1}-3 \quad(n \geqslant 2)\tag{3}
\end{equation}$$
由$(3)$得
$$\begin{equation}
(n-1) a_{n+1}=n a_n-3\quad (n \geqslant 1)\tag{4}
\end{equation}$$
$(3)-(4)$得
$$(n-2) a_n-(n-1) a_{n+1}=(n-1) a_{n-1}-n a_n(n \geqslant 2) $$
整理得
$$ 2(n-1) a_n=(n-1) a_{n-1}+(n-1) a_{n+1} \quad(n \geqslant 2) $$
所以
$$ 2 a_n=a_{n-1}+a_{n+1} \quad(n \geqslant 2)$$
由等差中项可得 $\{a_n\}$ 为等差数列.
因为$a_1=3, a_2=5$所以$ a_n=2 n+1$. - 假设存在正整数 $m, n$, 使得 $\dfrac{1}{a_n}, \dfrac{1}{a_m}, \dfrac{1}{a_{3 n+1}}$ 成等差数列，则
$$\dfrac{2}{a_m}=\dfrac{1}{a_n}+ \dfrac{1}{a_{3 n+1}}$$
即
$$\dfrac{2}{2 m+1}=\dfrac{1}{2 n+1}+\dfrac{1}{6 n+3}=\dfrac{4}{6 n+3}
$$
化简得
$$\begin{equation}
4 m=6 n+1\tag{5}
\end{equation}$$
因为$ n, m \in \mathbb{Z}$, 从而 $4 m$ 为偶数, $6 n+1$为奇数,$(5)$式不成立.
所以不存在整数$n,m$满足题设.