分而治之 赵晚龙 发表于 2023-11-24 | 分类于 函数 题目 ( 2023年11月山西省运城市高三期中考试第$16$题 ) 已知函数 $f(x)=a^2 x^2+\ln x+(\ln x+1) a x$ 有三个不同的零点, 则实数 $a$ 的范围为_____. 阅读全文 »
直角三角形的内切圆 赵晚龙 发表于 2023-11-21 | 分类于 解析几何 题目 已知双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{8}=1$, 左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$, 过点 $F_{2}$ 作一直线与双曲线 $C$ 的右半支交于 $P$ 、 $Q$ 两点, 使得 $\angle F_{1} P Q=90^{\circ}$, 则 $\triangle F_{1} P Q$ 的内切圆的半径 $r=$____. 阅读全文 »
相等的夹缝 赵晚龙 发表于 2023-11-09 | 分类于 解析几何 题目 过双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点$F_2$作渐近线$y=\dfrac{b}{a} x$的垂线, 垂足为$H$, 与双曲线交于$A, B$ 两点, 若$\overrightarrow{A B}=4 \overrightarrow{H B}$,$|\overrightarrow{F_2 H}|=6$, 求双曲线的方程. 阅读全文 »
求差相消法 赵晚龙 发表于 2023-10-30 | 分类于 数列 题目 ( 介休一中2023年高三十月联考第20题 ) 已知数列 $\{a_n\}$中$a_2=5$, 其前$n$ 项和为$S_n$, 满足 $S_n=\dfrac{(3+a_n) n}{2}$. 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式; 是否存在正整数 $m, n$, 使得 $\dfrac{1}{a_n}, \dfrac{1}{a_m}, \dfrac{1}{a_{3 n+1}}$ 成等差数列? 若存在, 求出 $m, n$; 若不存在, 请给出证明. 阅读全文 »
坐标法解向量题 赵晚龙 发表于 2023-10-27 | 分类于 向量 题目 ( 介休一中2023年高三十月联考第16题 ) 平面四边形 $A B C D$ 满足 $\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}=0,|\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{B D}|$, 则 $\tan \angle B A D$ 的值为____. 阅读全文 »
等比数列与夹逼定理 赵晚龙 发表于 2023-10-24 | 分类于 数列 题目 ( 2023年高考天津卷第19题 ) 已知数列$\left\{a_{n}\right\}$是等差数列$a_{2}+a_{5}=16, a_{5}-a_{3}=4$. 求$\{a_{n}\}$的通项公式和$\displaystyle\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}$. 已知$\{b_{n}\}$为等比数列, 对于任意$k \in \mathbf{N}^{*}$, 若$2^{k-1} \leqslant n \leqslant 2^{k}-1$, 则$b_{k} < a_{n} < b_{k+1}$.(i). 当$k \geqslant 2$时,求证:$2^{k}-1 < b_{k} < 2^{k}+1$;(ii). 求$\left\{b_{n}\right\}$的通项公式及其前$n$项和. 阅读全文 »
数列问题中的奇偶讨论 赵晚龙 发表于 2023-10-23 | 分类于 数列 题目 ( 2023年新高考2卷第$18$题 ) 已知 $\{a_n\}$ 为等差数列, $b_n=\begin{cases}a_n-6, & n \text{为奇数,} \\\ 2 a_n, & n \text {为偶数.}\end{cases}\quad $ 记 $S_n, T_n$ 分别为数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的前$n$项和,$S_4=32, T_3=16$. 求$\{a_n\}$的通项公式; 证明: 当$n>5$时,$T_n>S_n$. 阅读全文 »
等差数列 赵晚龙 发表于 2023-10-22 | 分类于 数列 题目(2023年新高考1卷第$20$题 ) 设等差数列$\left\{a_n\right\}$的公差为$d$, 且$d>1$. 令$b_n=\dfrac{n^2+n}{a_n}$, 记$S_n, T_n$分别为数列$\left\{a_n\right\}$,$\left\{b_n\right\}$的前$n$项和. 若$3 a_2=3 a_1+a_3, S_3+T_3=21$, 求$\left\{a_n\right\}$的通项公式; 若$\left\{b_n\right\}$为等差数列, 且$S_{99}-T_{99}=99$, 求$d$. 阅读全文 »
同构证明过定点 赵晚龙 发表于 2023-10-18 | 分类于 解析几何 题目 ( 2023年高考全国乙卷第$20$题 ) 已知椭圆$C: \dfrac{y^{2}}{a^{2}}+\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率为$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, 点$A(-2,0)$在$C$上. 求$C$的方程; 过点$(-2,3)$的直线交$C$于$P, Q$两点, 直线$A P, A Q$与$y$轴的交点分别为$M, N$, 证明:线段$M N$的中点为定点. 阅读全文 »
恒成立与极值点 赵晚龙 发表于 2023-10-11 | 分类于 函数 题目( 介休一中2023年9月第二次数学联考第$21$题 )已知函数$f(x)=a x \ln x-2 x+3$, 其中 $a>0$. 当$a=1$ 时, 求 $f(x)$ 的最小值; 若$\mathrm{e}^{1-x} \leqslant f(x)$ 对任意的 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围. 阅读全文 »