题目

19.(本小题满分 17 分)

已知函数 $f(x)=\dfrac{a(x+1)}{\mathrm{e}^x}+\ln x(a \in \mathbf{R})$.
(1). 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增, 求 $a$ 的取值范围;
(2). 若 $f(x)$ 有 2 个极值点 $x_1,x_2(x_1 > x_2 > 0)$, 求证:$a(x_1^2+x_2^2) > 2 \sqrt{\mathrm{e}}.$

题目

( 2024届八省(T8)第一次联考第22题 )
已知函数 $f(x)=3 a-x-(x+1) \ln (x+1)$, $g(x)=a^2 \mathrm{e}^x+\dfrac{1}{2}(2-a) x^2-3 a x(x>-1)$,
$1 \leqslant a \leqslant 6, g(x)$ 的导函数记为 $g^{\prime}(x), \mathrm{e}$ 为自然对数的底数, 约为 2.718 .

1. 判断函数 $f(x)$ 的零点个数;
2. 设 $x_1$ 是函数 $f(x)$ 的一个零点, $x_2$ 是函数 $g(x)$ 的一个极值点, 证明:
   (i). $-1 < x_2 < 1 < x_1$;
   (ii). $f(x_2) < g^{\prime}(x_1)$.

题目

点$M(x_{0}, y_{0})$为圆$C:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$内的一定点，过$M$的直线交圆$C$于$A,B$两点,圆$C$在$A,B$两点处的切线交于点$P$,求点$P$的轨迹方程.

题目

如图, $A$ 、$B$ 、 $C$ 是圆 $O$ 上的三等分点, 点 $P$ 在劣弧 $\overparen{B C}$ 上, 且 $P B=2$, $P C= 1 $, 若实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 满足 $x\overrightarrow{P A}+y \overrightarrow{P B}+z \overrightarrow{P C}=\boldsymbol{0}$. 则 $x: y: z=$_____.

题目

( 2023年11月高三金太阳联考第$22$题 )

已知函数 $f(x)=\ln x-a \sqrt{x}+1, a \in \mathbf{R}$.

1. 若$f(x) \leqslant 0$, 求$a$ 的取值范围;
2. 若关于 $x$ 的方程 $f\left(x^2\right)=\mathrm{e}^{a x}-\mathrm{e} x^2$ 有两个不同的正实根 $x_1, x_2$, 证明: $x_1+x_2>2 \sqrt{\mathrm{e}}$.

题目

( 2023年11月太原市高三期中考试第$16$题 )

已知$x_0$是函数 $f(x)=x^2 e^x+\ln x$的零点, 则$e^{x_0} \cdot \ln x_0=$_____.

题目

若$m,n$为大于零的常数，过点$P(m,n)$作直线$l$,分别交$x$轴,$y$轴正半轴于$A$,$B$两点， 求$\triangle OAB$周长的最小值.

题目

( 2023年11月山西省运城市高三期中考试第$16$题 )

已知函数 $f(x)=a^2 x^2+\ln x+(\ln x+1) a x$ 有三个不同的零点, 则实数 $a$ 的范围为_____.

题目

已知双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{8}=1$, 左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$, 过点 $F_{2}$ 作一直线与双曲线 $C$ 的右半支交于 $P$ 、 $Q$ 两点, 使得 $\angle F_{1} P Q=90^{\circ}$, 则 $\triangle F_{1} P Q$ 的内切圆的半径 $r=$____.

题目

过双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点$F_2$作渐近线$y=\dfrac{b}{a} x$的垂线, 垂足为$H$, 与双曲线交于$A, B$ 两点, 若$\overrightarrow{A B}=4 \overrightarrow{H B}$,$|\overrightarrow{F_2 H}|=6$, 求双曲线的方程.