题目

如图，三角形 $ABC$ 中， $AB=1,BC=\sqrt{3}$, 以 $C$ 为直角顶点向外作等腰直角三角形 $ACD$ , 当 $\angle ABC $ 变化时，线段 $BD$ 长度的最大值为

$(A).\sqrt{6}-1 $
$(B).\sqrt{6}$
$(C).\sqrt{6}+1$
$(D).2\sqrt{3}$

题目

$($ 晋中市 $ 2018 $ 年 $ 1 $ 月高考适应性调研考试文科第 $16$ 题 $)$
在 $ \triangle ABC $ 中， $ A_1 $ , $ B_1 $ 分别是边 $ BA,CB $ 的中点， $ A_2,B_2 $ 分别是线段 $ A_1A,B_1B $ 的中点， $ \cdots $ ， $ A_n,B_n $ 分别是线段 $ A_ {n-1}A,B_ {n-1}B\left( n\in \mathbf{N}^+,n>1 \right) $ 的中点.设数列 $ \left\{a_n\right\} $ , $ \left\{b_n\right\} $ 满足:向量 $ \overrightarrow{B_nA_n}=a_n\overrightarrow{CA}+b_n\overrightarrow{CB}\left( n\in \mathbf{N}^+ \right) $ ,有下列四个命题:

1. 数列 $ \left\{a_n\right\} $ 是单调递增数列，数列 $ \left\{b_n\right\} $ 是单调递减数列;
2. 数列 $ \left\{a_n+b_n\right\} $ 是等比数列;
3. 数列 $ \left\{\dfrac{a_n}{b_n}\right\} $ 有最小值，无最大值;
4. 若 $ \triangle ABC $ 中, $ C=90^\circ $ , $ CA=CB $ ,则 $ |\overrightarrow{B_nA_n}| $ 最小时， $ a_n+b_n=\dfrac{1}{2} $ .

其中真命题是 ____ (要求写出所以真命题的序号)

题目

$($ 晋中市 $ 2018 $ 年 $ 1 $ 月高考适应性调研考试文科第 $10$ 题,理科 第 $8$ 题 $)$
已知函数 $f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x\left( x\in \mathbf{R} \right)$,若 $x=x_0$ 是函数$f\left(x\right)$的一条对称轴，且 $\tan x_0=2$,则点 $\left( a,b \right)$ 所在的直线为
$(A).2x-y=0$ $\qquad (B).x+2y=0$
$(C).x-2y=0$ $\qquad(D).2x+y=0$

题目

$($ 晋中市 $ 2018 $ 年 $ 1 $ 月高考适应性调研考试文科第 $20$ 题 $)$
已知抛物线 $ C:y^2=2px\left( p>0 \right) $ 的焦点是椭圆 $ M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) $ 的右焦点，且两曲线有公共点 $ \left( \dfrac{2}{3},\dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right) $ .

1. 求椭圆 $ M $ 的方程;
2. $O$为坐标原点，$A$,$B$,$C$是椭圆$M$上不同的三点，并且$O$为$\triangle ABC$的重心，试探究$\triangle ABC$的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

题目

$($ 晋中市 $ 2018 $ 年 $ 1 $ 月高考适应性调研考试理科第 $16$ 题 $)$
已知 $ \overrightarrow {OP},\overrightarrow {OQ} $ 是不共线向量，设 $ \overrightarrow {OM}=\dfrac{1}{m+1}\overrightarrow {OP}+\dfrac{m}{m+1}\overrightarrow {OQ} $ .定义点集 $$ A=\left\{ F\biggm|\dfrac{\overrightarrow {FP}\cdot\overrightarrow {FM}}{|\overrightarrow {FP}|}=\dfrac{\overrightarrow {FQ}\cdot\overrightarrow {FM}}{|\overrightarrow {FQ}|} \right\}. $$ 当 $ F_1,F_2\in A $ 时，若对于任意的 $ m\geqslant 3 $ ,不等式 $ |\overrightarrow {F_1F_2}|\leqslant k|\overrightarrow {PQ}| $ 恒成立，则实数 $ k $ 的最小值为 $\underline{\hspace{2cm}}$.

题目

$($ 晋中市 $ 2018 $ 年 $ 1 $ 月高考适应性调研考试理科第 $20$ 题 $)$
已知抛物线 $ C:y^2=2px\left( p>0 \right) $ 的焦点是椭圆 $ M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) $ 的右焦点，且两曲线有公共点 $ \left( \dfrac{2}{3},\dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right) $ .

1. 求椭圆 $ M $ 的方程;
2. 椭圆 $ M $ 的左、右顶点分别为 $ A_1,A_2 $ ,若过点 $ B\left( 4,0 \right) $ 且斜率不为零的直线 $ l $ 与椭圆 $ M $ 交于 $ P,Q $ 两点.已知直线 $ A_1P $ 与 $ A_2Q $ 相交于点 $ G $ ,试判断点 $ G $ 是否在一定直线上?若在，请指出定直线的方程；若不在，请说明理由.

题目

已知 $ F_1 $ , $ F_2 $ 是双曲线 $ C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) $ 的左右焦点，过 $ F_1 $ 的直线 $ l $ 交双曲线的两条渐近线于 $ A $ , $ B $ 两点，且 $ |F_2A|=|F_1B| $ ,又 $ |OA|,|AB|,|OB| $ 成等比数列，则双曲线 $ C $ 的离心率 $ e $ 为
$\quad (A). 2 $ $ \quad(B).\sqrt{5} $ $ \quad (C).2\sqrt{2} $ $ \quad (D).2\sqrt{3} $

题目

我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线$C$的渐近线方程为$y=\pm 2x$，一个焦点为$(\sqrt 5,0)$．直线$y=0$与$y=3$在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形$OABN $，则它绕$y$轴旋转一圈所得几何体的体积为 $\underline{\hspace{2cm}}$.

题目

设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左、右焦点，过 $F_1$ 的直线 $l$ 与双曲线分别交于 $A,B$ 两点，若 $A$ 在第一象限且 $\triangle ABF_2$ 为等边三角形

1. 求双曲线的离心率.
2. 若$A\left( m,18 \right)$，求双曲线的实轴长.

题目

已知 $ x_0 $ 是方程 $ 2x^2e^{2x}+\ln x=0 $ 的实数根，则关于实数 $ x_0 $ 的判断正确的是
$(A). x_0>\ln 2 $ $ (B). 2x_0+\ln x_0=0 $ $ (C).x_0<\dfrac{1}{e} $ $ (D).2e^{x_0}+\ln x_0=0 $