阿波罗尼斯（Apollonius）圆

赵晚龙 发表于 | 分类于 ， |

题目

$($ 晋中市 $ 2018 $ 年 $ 1 $ 月高考适应性调研考试理科第 $16$ 题 $)$
已知 $ \overrightarrow {OP},\overrightarrow {OQ} $ 是不共线向量，设 $ \overrightarrow {OM}=\dfrac{1}{m+1}\overrightarrow {OP}+\dfrac{m}{m+1}\overrightarrow {OQ} $ .定义点集 $$ A=\left\{ F\biggm|\dfrac{\overrightarrow {FP}\cdot\overrightarrow {FM}}{|\overrightarrow {FP}|}=\dfrac{\overrightarrow {FQ}\cdot\overrightarrow {FM}}{|\overrightarrow {FQ}|} \right\}. $$ 当 $ F_1,F_2\in A $ 时，若对于任意的 $ m\geqslant 3 $ ,不等式 $ |\overrightarrow {F_1F_2}|\leqslant k|\overrightarrow {PQ}| $ 恒成立，则实数 $ k $ 的最小值为 $\underline{\hspace{2cm}}$.

解析

由题意 $ M $ 在线段 $ PQ $ 上，且 $ PM:MQ=m:1 $ , 由向量的投影公式易得 $ FM $ 是 $ \triangle PFQ $ 的内角 $ \angle PFQ $ 的平方线，latex-image-3
由角平方线定理可得 $$ \dfrac{FP}{FQ}=\dfrac{PM}{MQ}=m $$ 所以动点 $ F $ 到定点 $ P $ 与定点 $ Q $ 的距离之比为常数 $ m $ ,其轨迹为阿波罗尼斯圆. 不妨设 $ MQ=1 $ ,则 $ PM=m $ ,易得该圆的直径 $$ 2r=\left( m+1 \right)\left( \dfrac{1}{m-1}+\dfrac{1}{m+1} \right) $$ 因为 $ |\overrightarrow {F_1F_2}|_{\max}=2r $ ,所以 $$ 2r\leqslant k\left( m+1 \right) $$ 即 $$ k\geqslant \dfrac{1}{m-1}+\dfrac{1}{m+1} $$ 因为 $ m\geqslant 3 $ ,所以 $ f\left( m \right)= \dfrac{1}{m-1}+\dfrac{1}{m+1} $ 单调递减，所以 $$ f\left( m \right)_{\max}=f\left( 3 \right)=\dfrac{3}{4} $$ 所以 $ k $ 的最小值为 $ \dfrac{3}{4} $ .

阿波罗尼斯圆

  1. 到两定点距离之比为常数(不为 $ 1 $ 到点的轨迹为圆,这个圆叫阿波罗尼斯圆.
  2. 若 $ A,B $ 为两个定点,且 $ |PA|=\lambda|PB|\left( \lambda\neq1 \right) $ ,设 $ \overrightarrow {AM}=\lambda\overrightarrow {MB} $ ,且 $ \overrightarrow {AN}=-\lambda\overrightarrow {NB} $ ,则 $$ \overrightarrow {PM}=\dfrac{\overrightarrow {PA}+\lambda\overrightarrow {PB}}{1+\lambda},\qquad \overrightarrow {PN}=\dfrac{\overrightarrow {PA}-\lambda\overrightarrow {PB}}{1-\lambda} $$ 则 $ P $ 的轨迹是以 $ MN $ 为直径的圆,证明如下 $$ |\overrightarrow {PA}|^2=\lambda^2|\overrightarrow {PB}|^2 \Longleftrightarrow \left( \overrightarrow {PA}+\lambda\overrightarrow {PB} \right)\cdot\left( \overrightarrow {PA}-\lambda\overrightarrow {PB} \right)=0 \Longleftrightarrow \dfrac{\overrightarrow {PA}+\lambda\overrightarrow {PB}}{1+\lambda}\cdot\dfrac{\overrightarrow {PA}-\lambda\overrightarrow {PB}}{1-\lambda}=0 $$ 即 $$ \overrightarrow {PM}\cdot\overrightarrow {PN}=0 $$ 所以 $ P $ 的轨迹是以 $ MN $ 为直径的圆.(也可以用平面几何三角形角平分线定理证明)
  3. 若 $ |AB|=a,|PA|=\lambda|PB|\left( \lambda>1 \right) $ ,易得阿波罗尼斯圆的直径 $$ 2r=a\left( \dfrac{1}{\lambda-1}+\dfrac{1}{\lambda+1} \right). $$