题目

$2005 $ 年高考全国 $I$ 卷 理科第 $21$ 题
已知椭圆的中心为坐标原点 $ O, $ 焦点在 $ x $ 轴上,斜率为 $ 1 $ 且过椭圆右焦点 $ F $ 的直线交椭圆于 $ A,B $ 两点, $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} $ 与 $ a=(3,-1) $ 共线。

1. 求椭圆的离心率;
2. 设 $ M $ 为椭圆上任意一点,且 $ \overrightarrow{OM}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}(\lambda ,\mu \in \mathbb{R}) $ ,证明 $ \lambda ^2+\mu^2 $ 为定值.

题目

$2004$ 年高考全国 $I$ 卷 理科第 $22$ 题
已知数列 $ \{a_n\} $ 中 $ a_1=1, $ 且 $ a_{2k}=a_{2k-1}+(-1)^k, a_{2k+1}=a_{2k}+3^k, $ 其中 $ k=1, 2, 3, \cdots. $

1. 求 $ a_3,a_5 $ ;
2. 求 $ \{a_n\} $ 的通项公式.

题目

$2004$ 年高考全国 $I$ 卷 理科第 $21$ 题
设双曲线 $ C: \dfrac{x^2}{a^2}-{y^2}=1~(a > 0) $ 与直线 $ l:x+y=1 $ 相交于两个不同的点 $ A, B. $

1. 求双曲线 $ C $ 的离心率 $ e $ 的取值范围;
2. 设直线 $ l $ 与 $ y $ 轴的交点为 $ P, $ 且 $ \overrightarrow{PA}=\dfrac{5}{12}\overrightarrow{PB}, $ 求 $ a $ 的值.

题目

$ 2018 $ 届山西省六校（长治二中，晋城一中、康杰中学、临汾一中等）高三第四次名校联考 理科 $ 21 $ 题
已知函数 $ f\left( x \right)=mx\ln x $ .

1. 当 $ m>0 $ 时，求函数 $ F\left( x \right)=f\left( x \right)-x+1 $ 的单调区间；
2. 若对任意 $ x\in\left( 0,+\infty \right) $ ， $ f\left( x \right)\geqslant x-1 $ 的恒成立，求 $ m $ 的值.

题目一

$ 2014$ 年高考北京卷理科第 $14$ 题
设函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\varphi )$($A,\omega,\varphi$是常数,$A>0,\omega >0$).若 $f(x)$ 在区间 $[\dfrac{\pi }{6},\dfrac{\pi }{2}]$ 上具有单调性,且 $ f( \dfrac{\pi }{2} )=f( \dfrac{2\pi }{3} )=-f( \dfrac{\pi }{6} )$ ,则 $f(x)$ 的最小正周期为$\underline{\hspace{2cm}}.$

题目

$ 2010 $ 年天津高考理科第 $ 10 $ 题
如图,用四种不同颜色给图中的 $ A,B,C,D,E,F $ 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有

$ (A).288 $ 种 $ \quad (B).264 $ 种 $ \quad (C).240 $ 种 $ \quad (D).168 $ 种

题目

$ 2013 $ 年全国高考新课标 $ 2 $ 理科 第 $ 12 $ 题
已知点 $ A(-1,0),B(1,0),C(0,1), $ 直线 $ y=ax+b(a>0) $ 将 $ \triangle ABC $ 分割为面积相等的两部分,则 $b$ 的取值范围是
$ (A).(0,1) \qquad (B).(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{1}{2})\qquad
(C).(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{1}{3}]\qquad (D).[\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}) $

题目

已知向量 $ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} $ 满足 $ \left| 2 \overrightarrow a+ \overrightarrow b \right|=3 $ ,且 $ \overrightarrow a\cdot\left( \overrightarrow a- \overrightarrow b \right)=3 $ ,则 $ \left| \overrightarrow a- \overrightarrow b \right| $ 的最小值为
$ \quad (A).\dfrac{9}{4}\qquad (B).\dfrac{3}{2}\qquad (C).\dfrac{3\sqrt{5}-3}{2} \qquad (D).3\sqrt{5}-3 $

题目

$2018$ 年山西省高考考前适应性测试理科第 $21$ 题
已知函数 $ f\left(x\right)=mx^2-\left( 2m+1 \right)x+\ln x\left( m\in \mathbf{R} \right) $.

1. 当 $ m=-\dfrac{1}{2} $ 时，若函数 $ g\left(x\right)=f\left( x \right)+ \left( a-1 \right)\ln x $ 恰有一个零点,求 $ a $ 的取值范围;
2. 当 $ x>1 $ 时， $ f\left(x\right)<\left( 1-m \right)x^2 $ 恒成立，求 $ m $ 的取值范围.

题目

如图，点 $P$ 在椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上，直线 $PQ$ 与圆 $O:x^2+y^2=b^2$ 相切于点 $M$,且 $OP\perp OQ$. 求点 $Q$ 的纵坐标的值.