题目
已知向量 $ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} $ 满足 $ \left| 2 \overrightarrow a+ \overrightarrow b \right|=3 $ ,且 $ \overrightarrow a\cdot\left( \overrightarrow a- \overrightarrow b \right)=3 $ ,则 $ \left| \overrightarrow a- \overrightarrow b \right| $ 的最小值为
$ \quad (A).\dfrac{9}{4}\qquad (B).\dfrac{3}{2}\qquad (C).\dfrac{3\sqrt{5}-3}{2} \qquad (D).3\sqrt{5}-3 $
解析
设 $ \overrightarrow m=2 \overrightarrow a+ \overrightarrow b $ , $ \overrightarrow n= \overrightarrow a- \overrightarrow b $ ,则 $ \left| \overrightarrow{m} \right|=3 $ 且 $$ \overrightarrow a\cdot\left( \overrightarrow a- \overrightarrow b \right)=\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow m+ \overrightarrow n \right)\cdot \overrightarrow n=3 $$ 所以 $$ \overrightarrow m\cdot \overrightarrow n+ \overrightarrow n^2=9 $$ 所以 $$ \left| \overrightarrow m \right|\left| \overrightarrow n \right|\cos\langle \overrightarrow m, \overrightarrow n\rangle+\left| \overrightarrow n \right|^2=9 $$ 所以 $$ \cos\langle \overrightarrow m, \overrightarrow n\rangle=\dfrac{9-\left| \overrightarrow n \right|^2}{3 |\overrightarrow n|} $$ 因为 $ -1\leqslant \cos\langle \overrightarrow m, \overrightarrow n\rangle\leqslant 1 $ ,所以 $$ -1\leqslant \dfrac{9-\left| \overrightarrow n \right|^2}{3 \left| \overrightarrow n \right|}\leqslant 1 $$ 注意到 $ \left| \overrightarrow n \right|>0 $ ,解得 $$ \frac{3\left(\sqrt{5}-1\right)}{2} \leqslant \left| \overrightarrow n \right|\leqslant \frac{3\left(\sqrt{5}+1\right)}{2} $$ 所以 $ \left| \overrightarrow a- \overrightarrow b \right| $ 的最小值为 $ \dfrac{3\sqrt{5}-3}{2} $ .
另解
同上,建立坐标系，设 $\overrightarrow{m}=(3,0),\overrightarrow{n}=(x,y)$,则由 $$\overrightarrow m\cdot \overrightarrow n+ \overrightarrow n^2=9 $$ 得点$(x,y)$的轨迹方程为 $$3x+x^2+y^2=9$$ 即 $$\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+y^2=\dfrac{45}{4} $$ 而 $|\overrightarrow{n}|=\sqrt{x^2+y^2}$ 的几何意义为圆上的点到原点的距离，所以 $$ |\overrightarrow{n}|_{\min}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3\sqrt{5}-3}{2}. $$