题目

( 2021年3月清华大学中学生标准学术能力诊断性测试理科数学第$12$题 )
已知实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1, a^{2}+b^{2}+c^{2}=1,$ 则 $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ 的最小值是

$$A. \dfrac{1}{3}\qquad\qquad B. \dfrac{5}{9}\qquad\qquad C. \dfrac{7}{9}\qquad \qquad D. 1$$

题目

函数 $f(x)=(a+1)\ln(x+1)+\dfrac 1x(a\neq-1)$ 在 $(-1,0)$ 上不单调.

1. 求$a$的取值范围;
2. 若 $x_1\in(-1,-\dfrac12),x_2\in(1,+\infty),a\in[-\dfrac12,1]$, 求证
   $$ f(x_2)-f(x_1)\geqslant \ln(\sqrt3+2)+\sqrt3. $$

题目

已知函数 $ f(x)=\left(2 x^{2}-4 x+4\right) \mathrm{e}^{x}-a x^{2}-\mathrm{e}(a \in \mathbb{R}) $
1. 若曲线 $ y=f(x) $ 在点 $ (1, f(1)) $ 处的切线 $ l $ 过点 $ (0,1-\mathrm{e}), $ 求实数 $ a $ 的值 $ ; $
2. 当 $ a > 0 $ 时,若函数 $ f(x) $ 有且仅有 $3$ 个零点,求实数 $ a $ 的取值范围.

题目

已知数列 $ \{b_n\} $ 的通项公式为 $ b_n=\dfrac{n}{2^n} $ ，是否存在正整数 $ p,q,r\left( p < q < r \right) $ ，使得 $ b_p,b_q,b_r $ 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的 $ p,q,r $ ；若不存在，请说明理由.

题目

如图,设圆 $O$ 的半径为 $1, P, A, B$ 是圆 $O$ 上不重合的点,求 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的最小值.

题目

(2020 年北京市高考适应性测试理科数学第 20 题）
已知椭圆 $C$ 的短轴的两个端点分别为 $A(0,1), B(0,-1),$ 焦距为 $2 \sqrt{3}$.

1. 求椭圆 $C$ 的方程;

2. 已知直线 $y=m$ 与椭圆 $C$ 有两个不同的交点 $M, N,$ 设 $D$ 为直线 $A N$ 上一点，且直线 $B D, B M$ 的斜率的积 为 $-\dfrac{1}{4}$.证明：点 $D$ 在 $x$ 轴上.

   

题目

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=\dfrac{1}{2}, a_{n}>0,$ 且 $a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{a_{n}^{2}}{99}$,若存在正整数 $n$ 使得 $a_{n}>1,$ 则 $n$ 的最小值为
$(A) 50$
$(B)51$
$(C) 100$
$(D)101$

题目

(晋中市2020年1月高三适应性考试理科21题)

已知函数 $f(x)=2 x+(1-2 a) \ln x+\dfrac{a}{x}$.

1. 讨论 $f(x)$ 的单调性;
2. 如果方程 $f(x)=m$ 有两个不相等的解 $x_{1}, x_{2},$ 且 $x_{1} < x_{2},$ 证明: $f^{\prime}\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) > 0$.

题目

过椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 直线交椭圆于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $P,$ 求证 $\dfrac{|F P|}{|A B|}$ 为定值，并求该定值.

题目

已知抛物线 $y^{2}=2 x,$ 过点 $P(1,1)$ 分别作斜率为 $k_{1}, k_{2}$ 的抛物线的动弦 $A B, C D .$ 设 $M, N$ 分别为线段 $A B$ 和 $C D$
的中点.若 $k_{1}+k_{2}=1,$ 求证直线 $M N$ 恒过定点，并求出定点坐标.