题目

若 $4^{\log _6 x}+x=9^{\log _6 x}, \quad 6^{\log _4 y}+y=9^{\log _4 y}$. 求 $\dfrac{x}{y}$.

题目

梯形 $ABCD$ 的四个顶点都在抛物线 $E:y^2=4x$ 上，且 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{DC}$ ,直线 $AB$ 过抛物线 $E$ 的焦点 $F$,当直线 $AD$ 与直线 $BC$ 的交点为 $P(0,1)$ 时，求实数 $\lambda$ 的值.

题目

若平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} $ 满足 $\boldsymbol{a}\cdot\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{c} \right)=0$，$|\boldsymbol{c} |=1，|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{c} |=2$,则 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$ 的最大值为$ \underline{\hspace{2cm}} $ .

题目

( 2021年3月清华大学中学生标准学术能力诊断性测试理科数学第$12$题 )
已知实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1, a^{2}+b^{2}+c^{2}=1,$ 则 $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ 的最小值是

$$A. \dfrac{1}{3}\qquad\qquad B. \dfrac{5}{9}\qquad\qquad C. \dfrac{7}{9}\qquad \qquad D. 1$$

题目

函数 $f(x)=(a+1)\ln(x+1)+\dfrac 1x(a\neq-1)$ 在 $(-1,0)$ 上不单调.

1. 求$a$的取值范围;
2. 若 $x_1\in(-1,-\dfrac12),x_2\in(1,+\infty),a\in[-\dfrac12,1]$, 求证
   $$ f(x_2)-f(x_1)\geqslant \ln(\sqrt3+2)+\sqrt3. $$

题目

已知函数 $ f(x)=\left(2 x^{2}-4 x+4\right) \mathrm{e}^{x}-a x^{2}-\mathrm{e}(a \in \mathbb{R}) $
1. 若曲线 $ y=f(x) $ 在点 $ (1, f(1)) $ 处的切线 $ l $ 过点 $ (0,1-\mathrm{e}), $ 求实数 $ a $ 的值 $ ; $
2. 当 $ a > 0 $ 时,若函数 $ f(x) $ 有且仅有 $3$ 个零点,求实数 $ a $ 的取值范围.

题目

已知数列 $ \{b_n\} $ 的通项公式为 $ b_n=\dfrac{n}{2^n} $ ，是否存在正整数 $ p,q,r\left( p < q < r \right) $ ，使得 $ b_p,b_q,b_r $ 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的 $ p,q,r $ ；若不存在，请说明理由.

题目

如图,设圆 $O$ 的半径为 $1, P, A, B$ 是圆 $O$ 上不重合的点,求 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的最小值.

题目

(2020 年北京市高考适应性测试理科数学第 20 题）
已知椭圆 $C$ 的短轴的两个端点分别为 $A(0,1), B(0,-1),$ 焦距为 $2 \sqrt{3}$.

1. 求椭圆 $C$ 的方程;

2. 已知直线 $y=m$ 与椭圆 $C$ 有两个不同的交点 $M, N,$ 设 $D$ 为直线 $A N$ 上一点，且直线 $B D, B M$ 的斜率的积 为 $-\dfrac{1}{4}$.证明：点 $D$ 在 $x$ 轴上.

   

题目

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=\dfrac{1}{2}, a_{n}>0,$ 且 $a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{a_{n}^{2}}{99}$,若存在正整数 $n$ 使得 $a_{n}>1,$ 则 $n$ 的最小值为
$(A) 50$
$(B)51$
$(C) 100$
$(D)101$