题目

( 2023年高考全国乙卷第$20$题 )

已知椭圆$C: \dfrac{y^{2}}{a^{2}}+\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率为$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, 点$A(-2,0)$在$C$上.

1. 求$C$的方程;
2. 过点$(-2,3)$的直线交$C$于$P, Q$两点, 直线$A P, A Q$与$y$轴的交点分别为$M, N$, 证明：线段$M N$的中点为定点.

题目

( 介休一中2023年9月第二次数学联考第$21$题 )
已知函数$f(x)=a x \ln x-2 x+3$, 其中 $a>0$.

1. 当$a=1$ 时, 求 $f(x)$ 的最小值;
2. 若$\mathrm{e}^{1-x} \leqslant f(x)$ 对任意的 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围.

题目

若 $4^{\log _6 x}+x=9^{\log _6 x}, \quad 6^{\log _4 y}+y=9^{\log _4 y}$. 求 $\dfrac{x}{y}$.

题目

梯形 $ABCD$ 的四个顶点都在抛物线 $E:y^2=4x$ 上，且 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{DC}$ ,直线 $AB$ 过抛物线 $E$ 的焦点 $F$,当直线 $AD$ 与直线 $BC$ 的交点为 $P(0,1)$ 时，求实数 $\lambda$ 的值.

题目

若平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} $ 满足 $\boldsymbol{a}\cdot\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{c} \right)=0$，$|\boldsymbol{c} |=1，|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{c} |=2$,则 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$ 的最大值为$ \underline{\hspace{2cm}} $ .

题目

( 2021年3月清华大学中学生标准学术能力诊断性测试理科数学第$12$题 )
已知实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1, a^{2}+b^{2}+c^{2}=1,$ 则 $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ 的最小值是

$$A. \dfrac{1}{3}\qquad\qquad B. \dfrac{5}{9}\qquad\qquad C. \dfrac{7}{9}\qquad \qquad D. 1$$

题目

函数 $f(x)=(a+1)\ln(x+1)+\dfrac 1x(a\neq-1)$ 在 $(-1,0)$ 上不单调.

1. 求$a$的取值范围;
2. 若 $x_1\in(-1,-\dfrac12),x_2\in(1,+\infty),a\in[-\dfrac12,1]$, 求证
   $$ f(x_2)-f(x_1)\geqslant \ln(\sqrt3+2)+\sqrt3. $$

题目

已知函数 $ f(x)=\left(2 x^{2}-4 x+4\right) \mathrm{e}^{x}-a x^{2}-\mathrm{e}(a \in \mathbb{R}) $
1. 若曲线 $ y=f(x) $ 在点 $ (1, f(1)) $ 处的切线 $ l $ 过点 $ (0,1-\mathrm{e}), $ 求实数 $ a $ 的值 $ ; $
2. 当 $ a > 0 $ 时,若函数 $ f(x) $ 有且仅有 $3$ 个零点,求实数 $ a $ 的取值范围.

题目

已知数列 $ \{b_n\} $ 的通项公式为 $ b_n=\dfrac{n}{2^n} $ ，是否存在正整数 $ p,q,r\left( p < q < r \right) $ ，使得 $ b_p,b_q,b_r $ 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的 $ p,q,r $ ；若不存在，请说明理由.

题目

如图,设圆 $O$ 的半径为 $1, P, A, B$ 是圆 $O$ 上不重合的点,求 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的最小值.