题目

过双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点$F_2$作渐近线$y=\dfrac{b}{a} x$的垂线, 垂足为$H$, 与双曲线交于$A, B$ 两点, 若$\overrightarrow{A B}=4 \overrightarrow{H B}$,$|\overrightarrow{F_2 H}|=6$, 求双曲线的方程.

题目

( 介休一中2023年高三十月联考第20题 )

已知数列 $\{a_n\}$中$a_2=5$, 其前$n$ 项和为$S_n$, 满足 $S_n=\dfrac{(3+a_n) n}{2}$.

1. 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式;
2. 是否存在正整数 $m, n$, 使得 $\dfrac{1}{a_n}, \dfrac{1}{a_m}, \dfrac{1}{a_{3 n+1}}$ 成等差数列? 若存在, 求出 $m, n$; 若不存在, 请给出证明.

题目

( 介休一中2023年高三十月联考第16题 )

平面四边形 $A B C D$ 满足 $\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}=0,|\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{B D}|$, 则 $\tan \angle B A D$ 的值为____.

题目

已知数列$\left\{a_{n}\right\}$是等差数列$a_{2}+a_{5}=16, a_{5}-a_{3}=4$.

1. 求$\{a_{n}\}$的通项公式和$\displaystyle\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}$.
2. 已知$\{b_{n}\}$为等比数列, 对于任意$k \in \mathbf{N}^{*}$, 若$2^{k-1} \leqslant n \leqslant 2^{k}-1$, 则$b_{k} < a_{n} < b_{k+1}$.
   (i). 当$k \geqslant 2$时,求证:$2^{k}-1 < b_{k} < 2^{k}+1$;
   (ii). 求$\left\{b_{n}\right\}$的通项公式及其前$n$项和.

题目

( 2023年新高考2卷第$18$题 )

已知 $\{a_n\}$ 为等差数列, $b_n=\begin{cases}a_n-6, & n \text{为奇数,} \\\ 2 a_n, & n \text {为偶数.}\end{cases}\quad $ 记 $S_n, T_n$ 分别为数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的前$n$项和,$S_4=32, T_3=16$.

1. 求$\{a_n\}$的通项公式;
2. 证明: 当$n>5$时,$T_n>S_n$.

题目

(2023年新高考1卷第$20$题 )

设等差数列$\left\{a_n\right\}$的公差为$d$, 且$d>1$. 令$b_n=\dfrac{n^2+n}{a_n}$, 记$S_n, T_n$分别为数列$\left\{a_n\right\}$,$\left\{b_n\right\}$的前$n$项和.

1. 若$3 a_2=3 a_1+a_3, S_3+T_3=21$, 求$\left\{a_n\right\}$的通项公式;
2. 若$\left\{b_n\right\}$为等差数列, 且$S_{99}-T_{99}=99$, 求$d$.

题目

( 2023年高考全国乙卷第$20$题 )

已知椭圆$C: \dfrac{y^{2}}{a^{2}}+\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率为$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, 点$A(-2,0)$在$C$上.

1. 求$C$的方程;
2. 过点$(-2,3)$的直线交$C$于$P, Q$两点, 直线$A P, A Q$与$y$轴的交点分别为$M, N$, 证明：线段$M N$的中点为定点.

题目

( 介休一中2023年9月第二次数学联考第$21$题 )
已知函数$f(x)=a x \ln x-2 x+3$, 其中 $a>0$.

1. 当$a=1$ 时, 求 $f(x)$ 的最小值;
2. 若$\mathrm{e}^{1-x} \leqslant f(x)$ 对任意的 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围.

题目

若 $4^{\log _6 x}+x=9^{\log _6 x}, \quad 6^{\log _4 y}+y=9^{\log _4 y}$. 求 $\dfrac{x}{y}$.

题目

梯形 $ABCD$ 的四个顶点都在抛物线 $E:y^2=4x$ 上，且 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{DC}$ ,直线 $AB$ 过抛物线 $E$ 的焦点 $F$,当直线 $AD$ 与直线 $BC$ 的交点为 $P(0,1)$ 时，求实数 $\lambda$ 的值.