题目

已知数列$\left\{a_{n}\right\}$是等差数列$a_{2}+a_{5}=16, a_{5}-a_{3}=4$.

1. 求$\{a_{n}\}$的通项公式和$\displaystyle\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}$.
2. 已知$\{b_{n}\}$为等比数列, 对于任意$k \in \mathbf{N}^{*}$, 若$2^{k-1} \leqslant n \leqslant 2^{k}-1$, 则$b_{k} < a_{n} < b_{k+1}$.
   (i). 当$k \geqslant 2$时,求证:$2^{k}-1 < b_{k} < 2^{k}+1$;
   (ii). 求$\left\{b_{n}\right\}$的通项公式及其前$n$项和.

题目

( 2023年新高考2卷第$18$题 )

已知 $\{a_n\}$ 为等差数列, $b_n=\begin{cases}a_n-6, & n \text{为奇数,} \\\ 2 a_n, & n \text {为偶数.}\end{cases}\quad $ 记 $S_n, T_n$ 分别为数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的前$n$项和,$S_4=32, T_3=16$.

1. 求$\{a_n\}$的通项公式;
2. 证明: 当$n>5$时,$T_n>S_n$.

题目

(2023年新高考1卷第$20$题 )

设等差数列$\left\{a_n\right\}$的公差为$d$, 且$d>1$. 令$b_n=\dfrac{n^2+n}{a_n}$, 记$S_n, T_n$分别为数列$\left\{a_n\right\}$,$\left\{b_n\right\}$的前$n$项和.

1. 若$3 a_2=3 a_1+a_3, S_3+T_3=21$, 求$\left\{a_n\right\}$的通项公式;
2. 若$\left\{b_n\right\}$为等差数列, 且$S_{99}-T_{99}=99$, 求$d$.

题目

( 2023年高考全国乙卷第$20$题 )

已知椭圆$C: \dfrac{y^{2}}{a^{2}}+\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率为$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, 点$A(-2,0)$在$C$上.

1. 求$C$的方程;
2. 过点$(-2,3)$的直线交$C$于$P, Q$两点, 直线$A P, A Q$与$y$轴的交点分别为$M, N$, 证明：线段$M N$的中点为定点.

题目

( 介休一中2023年9月第二次数学联考第$21$题 )
已知函数$f(x)=a x \ln x-2 x+3$, 其中 $a>0$.

1. 当$a=1$ 时, 求 $f(x)$ 的最小值;
2. 若$\mathrm{e}^{1-x} \leqslant f(x)$ 对任意的 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围.

题目

若 $4^{\log _6 x}+x=9^{\log _6 x}, \quad 6^{\log _4 y}+y=9^{\log _4 y}$. 求 $\dfrac{x}{y}$.

题目

梯形 $ABCD$ 的四个顶点都在抛物线 $E:y^2=4x$ 上，且 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{DC}$ ,直线 $AB$ 过抛物线 $E$ 的焦点 $F$,当直线 $AD$ 与直线 $BC$ 的交点为 $P(0,1)$ 时，求实数 $\lambda$ 的值.

题目

若平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} $ 满足 $\boldsymbol{a}\cdot\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{c} \right)=0$，$|\boldsymbol{c} |=1，|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{c} |=2$,则 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$ 的最大值为$ \underline{\hspace{2cm}} $ .

题目

( 2021年3月清华大学中学生标准学术能力诊断性测试理科数学第$12$题 )
已知实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1, a^{2}+b^{2}+c^{2}=1,$ 则 $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ 的最小值是

$$A. \dfrac{1}{3}\qquad\qquad B. \dfrac{5}{9}\qquad\qquad C. \dfrac{7}{9}\qquad \qquad D. 1$$

题目

函数 $f(x)=(a+1)\ln(x+1)+\dfrac 1x(a\neq-1)$ 在 $(-1,0)$ 上不单调.

1. 求$a$的取值范围;
2. 若 $x_1\in(-1,-\dfrac12),x_2\in(1,+\infty),a\in[-\dfrac12,1]$, 求证
   $$ f(x_2)-f(x_1)\geqslant \ln(\sqrt3+2)+\sqrt3. $$