题目

( 2025年太原高三一模第$18$题 )
已知圆 $O: x^2 + y^2 = 1$，点 $F(2, 0)$，动点 $M(x, y)$，以 $MF$ 为直径的圆与圆 $O$ 相外切，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$.

1. 求曲线 $C$ 的方程；
2. 设点 $A(2, 3)$, $P(t, 0)$, $Q(2 - t, 0)(\dfrac{1}{2} < t < 1)$，直线 $AP$, $AQ$ 分别与曲线 $C$ 交于点 $S$, $T$ (点 $S$ 异于点 $A$).
   (i).求证：直线 $ST$ 过定点；
   (ii).若 $AG \perp ST$, $G$ 为垂足，求点 $G$ 的轨迹方程。

题目

( 2025年深圳市高三年级第一次第一次调研考试第$19$题 )
已知无穷数列 $\{a_n\}$ 满足,$a_1, a_2$ 为正整数,$a_n=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|$,$n \in \mathbb{N}^*$ ．

1. 若 $a_1=1, a_3=2$ ，求 $a_4$ ；
2. 证明：＂存在 $k \in \mathbb{N}^*$ ，使得 $a_k=0$＂是＂$\{a_n\}$ 是周期为 3 的数列＂的必要不充分条件；
3. 若 $a_1 \neq a_2$ ，是否存在数列 $\{a_n\}$ ，使得 $a_n<2025$ 恒成立？若存在，求出一组 $a_1, a_2$的值；若不存在，请说明理由．

题目

( 2025年八省联考第$8$题 )
已知函数 $f(x)=x|x-a|-2 a^2$ ．若当 $x>2$ 时，$f(x)>0$，则 $a$ 的取值范围是
A．$(-\infty, 1]$
B．$[-2,1]$
C．$[-1,2]$
D．$[-1,+\infty)$

题目

$f(n)$ 是定义在 $\mathbb{N}^{+}$上的函数，且满足
$\begin{array}{llll}
&(1) &f(f(n))=4 n+9 & \left(n \in \mathbb{N}^{+}\right) ,\\
&(2) & f(2^k)=2^{k+1}+3& (n \in \mathbb{N}),
\end{array}$
求 $f(1789)$.

题目

已知 $a,b > 0$，且$\dfrac 1a+\dfrac 1b=2$，求$\dfrac 1{a+1}+\dfrac 4{b+1}$的最大值．

题目

( 2024年晋中市高三5月高考适应考试第$15$题 )

在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $b^2+c^2+b c=a^2$.

1. 求 $\tan A$;
2. 若 $b=(\sqrt{3}+1) c$, 在边 $B C$ 上 (不含端点) 存在点 $D$, 使得 $A D=1$, 求 $a$ 的取值范围.
   
   

题目

( 2024年晋中市高三5月高考适应考试第$17$题 )

如图,在六面体 $ABCDE$ 中, $BC=B D=\sqrt{6}$, $EC \perp ED$,且$E C=E D=\sqrt{2}$, $AB//$平面$C D E, AE//$平面$BCD$, $AE\perp CD$.

1. 证明: 平面 $A B E \perp$ 平面 $C D E$;

2. 若点$A$到直线 $C D$ 的距离为 $2\sqrt{2}, F$ 为棱$AE$的中点,求平面$BDF$ 与平面$BCD$夹角的余弦值.

   
   
   

题目

( 2024年晋中市高三5月高考适应考试第$14$题 )
已知函数 $f(\theta)=|a \cos \theta+b \sin \theta|+|a \sin \theta-b \cos \theta|$ 的最大值为 $4 \sqrt{2}$, 则满足条件 $b>\mathrm{e}^a$ 的整数 $a$ 的个数为 $\underline{\hspace{2cm}} $.

题目

( 2024年太原二模第$14$题 )

1. 已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>1, b>0)$ 的右焦点是 $F(2,0)$, 动点 $P(x, y)(x>0)$ 在 $C$ 上.若过点 $P$ 作 $C$ 的切线与直线 $x=1$ 相交时, 记其交点为 $Q, \overrightarrow{P F} \cdot \overrightarrow{Q F}=0$ 恒成立, 则 $\dfrac{x+2 y}{\sqrt{x^2+y^2}}$的取值范围为$\underline{\hspace{2cm}} $.

题目

( 山西省卓越联盟2023年3月联考第$14$题 )

锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A$ 的对边为 $a$, 若 $\triangle A B C$ 的面积是 $a^2$, 则 $\dfrac{\sin A}{\cos B \cos C}$ 的最小值是$\underline{\hspace{2cm}} $.