题目
( 2025年深圳市高三年级第一次第一次调研考试第$19$题 )
已知无穷数列 $\{a_n\}$ 满足,$a_1, a_2$ 为正整数,$a_n=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|$,$n \in \mathbb{N}^*$ .
- 若 $a_1=1, a_3=2$ ,求 $a_4$ ;
- 证明:"存在 $k \in \mathbb{N}^*$ ,使得 $a_k=0$"是"$\{a_n\}$ 是周期为 3 的数列"的必要不充分条件;
- 若 $a_1 \neq a_2$ ,是否存在数列 $\{a_n\}$ ,使得 $a_n<2025$ 恒成立?若存在,求出一组 $a_1, a_2$的值;若不存在,请说明理由.