题目

2017-2018学年高三第三次名校联合考试(长治二中、晋城一中、康杰中学等)第 $ 21 $ 题
已知函数 $ f\left( x \right)=a\ln x $ ， $ g\left( x \right)=1-\dfrac{1}{x} $ ，并且对于任意的 $ x>0 $ ， $ f\left( x \right)\geqslant g\left( x \right) $ 恒成立.

1. 求实数 $ a $ 的值;
2. 若 $ n\in \mathbb{N}^+ $ , 证明 : $ \dfrac{1}{n^2+1}+\dfrac{1}{n^2+2}+\dfrac{1}{n^2+3}+\cdots+\dfrac{1}{4n^2}<2\ln2 .$

题目

若实数 $a,b,c,d$ 满足 $ a^2+b^2=c^2+d^2 $ ,求 $$ \dfrac{20bc+14bd+20ad-14ac}{a^2+b^2+c^2+d^2} $$ 的最大值.

题目

若 $ \triangle ABC $ 的外心为 $ O $ ,且 $ \cos A=\dfrac{1}{3} $ ,若 $ \overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC} $ ,则 $ x+y $ 的最大值为
$\qquad A.\dfrac{1}{3}\qquad$ $B.\dfrac{1}{2}\qquad$ $C.\dfrac{2}{3}$ $\qquad D.\dfrac{3}{4}$

题目

如图,椭圆 $ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) $ 的内切圆 $ x^2+y^2=b^2 $ 的一条切线与椭圆交于点 $ A,B $,且切线 $ AB $ 与圆的切点 $ Q $ 在 $ y $ 轴右侧, $ F $ 为椭圆的右焦点,求 $ \triangle AFB $ 的周长.

题目 已知椭圆 $ C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_1$,$ F_2$.过原点 $ O $ 的直线与椭圆交于 $ M $, $N $ 两点，点 $ P $ 是椭圆 $ C $ 上的点,若 $ k_{PM} ...

中线已知 $ \triangle ABC $ 的三条中线分别为 $ m_a,m_b,m_c $,记 $ m=\frac{m_a+m_b+m_c}{2} $ ,则 $\triangle ABC$的面积为 $$ S=\dfrac{4}{3}\sqrt{m(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)} $$ ...

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