题目

( 2023年11月山西省运城市高三期中考试第$16$题 )

已知函数 $f(x)=a^2 x^2+\ln x+(\ln x+1) a x$ 有三个不同的零点, 则实数 $a$ 的范围为_____.

解析

$f(x)$ 定义域为$(0,+\infty)$，且
$$
\begin{aligned}
f(x) & =a^2 x^2+\ln x+(\ln x+1) a x \\
& =\left(a^2 x^2+a x\right)+(\ln x+a x \ln x) \\
& =a x(a x+1)+(a x+1) \ln x \\
& =(a x+1)(\ln x+a x)
\end{aligned}
$$
设$g(x)=a x+1(x>0), h(x)=\ln x+a x(x>0)$ ，
则$f(x)$ 零点个数即 $g(x)$ 与 $h(x)$ 零点个数之和.

当 $a \geqslant 0$ 时，$g(x)$ 无正零点， $h(x)$ 单调递增，至多有一个零点， $f(x)$ 至多有一个零点不合题意.
当$a < 0$时，函数$g(x)$ 有一个零点 $ - \frac{1}{a}$, 只需$h(x)$有异于 $ - \frac{1}{a} $ 的两个零点.$$h’(x) = \frac{1}{x} + a = \frac{a x+1}{x},$$若$ x \in(0,-\frac{1}{a}), h’(x) > 0, h(x)$ 递增，若$x \in(-\frac{1}{a},+\infty),h’(x) > 0, h(x)$递减.
$h(x)$有两个零点,必有$$ h(-\frac{1}{a}) = \ln (-\frac{1}{a})-1 > 0 $$所以
$$-\frac{1}{a} > e \implies -\frac{1}{e} < a < 0$$当$-\frac{1}{e} < a < 0$,时 $$
\begin{aligned}
&x \to 0, g(x) \to-\infty, \\\\
&x \to+\infty, h(x) \to-\infty
\end{aligned}$$故 $h(x)$在 $(0,-\frac{1}{a}),(-\frac{1}{a},+\infty)$ 各有一个零点, 即 $f(x)$ 有三零点.

综上，$a \in(-\frac{1}{e}, 0)$