题目

(2020 年北京市高考适应性测试理科数学第 20 题）
已知椭圆 $C$ 的短轴的两个端点分别为 $A(0,1), B(0,-1),$ 焦距为 $2 \sqrt{3}$.

1. 求椭圆 $C$ 的方程;

2. 已知直线 $y=m$ 与椭圆 $C$ 有两个不同的交点 $M, N,$ 设 $D$ 为直线 $A N$ 上一点，且直线 $B D, B M$ 的斜率的积 为 $-\dfrac{1}{4}$.证明：点 $D$ 在 $x$ 轴上.

   

题目

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=\dfrac{1}{2}, a_{n}>0,$ 且 $a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{a_{n}^{2}}{99}$,若存在正整数 $n$ 使得 $a_{n}>1,$ 则 $n$ 的最小值为
$(A) 50$
$(B)51$
$(C) 100$
$(D)101$

题目

(晋中市2020年1月高三适应性考试理科21题)

已知函数 $f(x)=2 x+(1-2 a) \ln x+\dfrac{a}{x}$.

1. 讨论 $f(x)$ 的单调性;
2. 如果方程 $f(x)=m$ 有两个不相等的解 $x_{1}, x_{2},$ 且 $x_{1} < x_{2},$ 证明: $f^{\prime}\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) > 0$.

题目

过椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 直线交椭圆于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $P,$ 求证 $\dfrac{|F P|}{|A B|}$ 为定值，并求该定值.

题目

已知抛物线 $y^{2}=2 x,$ 过点 $P(1,1)$ 分别作斜率为 $k_{1}, k_{2}$ 的抛物线的动弦 $A B, C D .$ 设 $M, N$ 分别为线段 $A B$ 和 $C D$的中点.若 $k_{1}+k_{2}=1,$ 求证直线 $M N$ 恒过定点，并求出定点坐标.

题目

过点 $P(-1,0)$ 作直线交抛物线 $C: y^{2}=4 x $于$ A, B$ 两点， $Q(1,-1),$ 直线 $A M$ 过点 $Q$ 且与抛物线 $C$ 交于 $A, M$ 两点，求证直线 $BM$ 过定点.

题目

已知 $a_{4}=7,$ 且 $4 S_{n}=n\left(a_{n}+a_{n+1}\right),$ 其中 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，求 $a_{n}$.

题目

已知 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{x}-2 \ln x-a x-1,$ 若 $f(x) \geqslant 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

题目第三届中国北方希望之星数学夏令营(第一天 第2题)如图，圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2}$ 交于 $A, B$ 两点.圆 $O_{1}$ 的直径 $A C$ 与圆 $O_{2}$ 交于另一点 $E,$ 圆 $O_{2}$ 的直径 $A D$ 与圆 $O_{1}$ 交于另一点 $F$.延长 ...

题目

已知 $A$、$B$ 是椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}4{}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 上的两个关于原点对称的点，$F$ 为椭圆 $\Gamma$ 的右焦点，直线 $AF$ 与 $BF$ 分别与椭圆 $\Gamma$ 交于点 $C$ 和点 $D$,设直线 $AB$, $CD$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$,是否存在实数 $\lambda$,使得 $k_2=\lambda k_1$,若存在，求出 $\lambda$ 的值:若不存在,说明理由.