题目

我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线$C$的渐近线方程为$y=\pm 2x$，一个焦点为$(\sqrt 5,0)$．直线$y=0$与$y=3$在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形$OABN $，则它绕$y$轴旋转一圈所得几何体的体积为 $\underline{\hspace{2cm}}$.

题目

设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左、右焦点，过 $F_1$ 的直线 $l$ 与双曲线分别交于 $A,B$ 两点，若 $A$ 在第一象限且 $\triangle ABF_2$ 为等边三角形

1. 求双曲线的离心率.
2. 若$A\left( m,18 \right)$，求双曲线的实轴长.

题目

已知 $ x_0 $ 是方程 $ 2x^2e^{2x}+\ln x=0 $ 的实数根，则关于实数 $ x_0 $ 的判断正确的是
$(A). x_0>\ln 2 $ $ (B). 2x_0+\ln x_0=0 $ $ (C).x_0<\dfrac{1}{e} $ $ (D).2e^{x_0}+\ln x_0=0 $

题目

$2018$ 年四川绵阳二诊理科第 $12$ 题
函数 $ f\left( x \right)=e^{x-1}+\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-\ln x-a $ ,若 $ f\left( x \right) $ 与 $ f\left( f\left( x \right) \right) $ 有相同的值域，则实数 $ a $ 的取值范围是
$ (A) \left[ -1,+\infty \right) \quad $ $(B). \left( -\infty,\dfrac{5}{6} \right)\quad $ $(C). \left( -1,e \right)\quad $ $(D). \left[ -\dfrac{1}{6},+\infty \right) $

题目

2008年高考全国一卷理科第 $11$ 题
已知三棱柱 $ ABC-A_1B_1C_1 $ 的侧棱与底面边长都相等, $ A_1 $ 在底面 $ ABC $ 内的射影为 $ \triangle ABC $ 的中心,则 $ AB_1 $ 与底面 $ ABC $ 所成角的正弦值等于
(A). $ \dfrac{1}{3}\qquad $ (B). $ \dfrac{\sqrt{2}}{3}\qquad $ (C).$ \dfrac{\sqrt{3}}{3} \qquad $ (D).$ \dfrac{2}{3} $

题目

已知函数 $$ f(x)=1+x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+\dfrac{x^{2013}}{2013},$$ $$g(x)=1-x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}-\cdots-\dfrac{x^{2013}}{2013} $$ 设函数 $ F(x)=f(x+3)\cdot g(x-4) $ ,且函数 $ F(x) $ 的零点均在区间 $ [a,b] $,$(a,b \in \mathbb{Z} ) $ ，则 $ b-a $ 的最小值为 $\underline{\hspace{2cm}}$.

题目

已知数列 $ \{a_n\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $ , $ a_1=1 $ 且
$$ \begin{split}
\left( n+1 \right)S_n=\left( n+3 \right)S_{n-1}+2\left( n\geqslant2 \right)
\end{split} $$ 求数列 $ \{a_n\} $ 的通项公式.

题目

过双曲线 $ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) $ 的左焦点 $ F(-c,0) $ 作圆 $ x^2+y^2=a^2 $ 的切线，切点为 $ E $ ,延长 $ FE $ 交抛物线 $ y^2=4cx $ 于点 $ P $ ,若 $ E $ 为线段 $ FP $ 的中点，则双曲线的离心率为
(A) $ \sqrt{5} \qquad $ (B) $ \dfrac{\sqrt5}{2} \qquad $ (C) $ \sqrt{5}+1 \qquad $ (D) $ \dfrac{\sqrt5+1}{2} $

题目

本题来源于微信群山西高中数学大教研
求 $$\sin 1^\circ\sin 2^\circ\sin3^\circ\cdots\sin89^\circ $$ 的值.

题目:

来源于山西高中数学教研微信群
如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $D$, $E$ 分别在边 $BC$, $AC$ 上，$\angle ABC=\angle ACB=50^\circ $, $ \angle EBD=10^\circ $ , $ \angle BED =20^\circ $ ,求 $ \angle ADE $ .