题目
$($ 晋中市 $ 2018 $ 年 $ 1 $ 月高考适应性调研考试理科第 $20$ 题 $)$
已知抛物线 $ C:y^2=2px\left( p>0 \right) $ 的焦点是椭圆 $ M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) $ 的右焦点,且两曲线有公共点 $ \left( \dfrac{2}{3},\dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right) $ .
- 求椭圆 $ M $ 的方程;
- 椭圆 $ M $ 的左、右顶点分别为 $ A_1,A_2 $ ,若过点 $ B\left( 4,0 \right) $ 且斜率不为零的直线 $ l $ 与椭圆 $ M $ 交于 $ P,Q $ 两点.已知直线 $ A_1P $ 与 $ A_2Q $ 相交于点 $ G $ ,试判断点 $ G $ 是否在一定直线上?若在,请指出定直线的方程;若不在,请说明理由.