题目

$($ 晋中市 $ 2018 $ 年 $ 1 $ 月高考适应性调研考试文科第 $20$ 题 $)$
已知抛物线 $ C:y^2=2px\left( p>0 \right) $ 的焦点是椭圆 $ M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) $ 的右焦点，且两曲线有公共点 $ \left( \dfrac{2}{3},\dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right) $ .

1. 求椭圆 $ M $ 的方程;
2. $O$为坐标原点，$A$,$B$,$C$是椭圆$M$上不同的三点，并且$O$为$\triangle ABC$的重心，试探究$\triangle ABC$的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

题目

$($ 晋中市 $ 2018 $ 年 $ 1 $ 月高考适应性调研考试理科第 $16$ 题 $)$
已知 $ \overrightarrow {OP},\overrightarrow {OQ} $ 是不共线向量，设 $ \overrightarrow {OM}=\dfrac{1}{m+1}\overrightarrow {OP}+\dfrac{m}{m+1}\overrightarrow {OQ} $ .定义点集 $$ A=\left\{ F\biggm|\dfrac{\overrightarrow {FP}\cdot\overrightarrow {FM}}{|\overrightarrow {FP}|}=\dfrac{\overrightarrow {FQ}\cdot\overrightarrow {FM}}{|\overrightarrow {FQ}|} \right\}. $$ 当 $ F_1,F_2\in A $ 时，若对于任意的 $ m\geqslant 3 $ ,不等式 $ |\overrightarrow {F_1F_2}|\leqslant k|\overrightarrow {PQ}| $ 恒成立，则实数 $ k $ 的最小值为 $\underline{\hspace{2cm}}$.

题目

$($ 晋中市 $ 2018 $ 年 $ 1 $ 月高考适应性调研考试理科第 $20$ 题 $)$
已知抛物线 $ C:y^2=2px\left( p>0 \right) $ 的焦点是椭圆 $ M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) $ 的右焦点，且两曲线有公共点 $ \left( \dfrac{2}{3},\dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right) $ .

1. 求椭圆 $ M $ 的方程;
2. 椭圆 $ M $ 的左、右顶点分别为 $ A_1,A_2 $ ,若过点 $ B\left( 4,0 \right) $ 且斜率不为零的直线 $ l $ 与椭圆 $ M $ 交于 $ P,Q $ 两点.已知直线 $ A_1P $ 与 $ A_2Q $ 相交于点 $ G $ ,试判断点 $ G $ 是否在一定直线上?若在，请指出定直线的方程；若不在，请说明理由.

题目

已知 $ F_1 $ , $ F_2 $ 是双曲线 $ C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) $ 的左右焦点，过 $ F_1 $ 的直线 $ l $ 交双曲线的两条渐近线于 $ A $ , $ B $ 两点，且 $ |F_2A|=|F_1B| $ ,又 $ |OA|,|AB|,|OB| $ 成等比数列，则双曲线 $ C $ 的离心率 $ e $ 为
$\quad (A). 2 $ $ \quad(B).\sqrt{5} $ $ \quad (C).2\sqrt{2} $ $ \quad (D).2\sqrt{3} $

题目

我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线$C$的渐近线方程为$y=\pm 2x$，一个焦点为$(\sqrt 5,0)$．直线$y=0$与$y=3$在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形$OABN $，则它绕$y$轴旋转一圈所得几何体的体积为 $\underline{\hspace{2cm}}$.

题目

设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左、右焦点，过 $F_1$ 的直线 $l$ 与双曲线分别交于 $A,B$ 两点，若 $A$ 在第一象限且 $\triangle ABF_2$ 为等边三角形

1. 求双曲线的离心率.
2. 若$A\left( m,18 \right)$，求双曲线的实轴长.

题目

已知 $ x_0 $ 是方程 $ 2x^2e^{2x}+\ln x=0 $ 的实数根，则关于实数 $ x_0 $ 的判断正确的是
$(A). x_0>\ln 2 $ $ (B). 2x_0+\ln x_0=0 $ $ (C).x_0<\dfrac{1}{e} $ $ (D).2e^{x_0}+\ln x_0=0 $

题目

$2018$ 年四川绵阳二诊理科第 $12$ 题
函数 $ f\left( x \right)=e^{x-1}+\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-\ln x-a $ ,若 $ f\left( x \right) $ 与 $ f\left( f\left( x \right) \right) $ 有相同的值域，则实数 $ a $ 的取值范围是
$ (A) \left[ -1,+\infty \right) \quad $ $(B). \left( -\infty,\dfrac{5}{6} \right)\quad $ $(C). \left( -1,e \right)\quad $ $(D). \left[ -\dfrac{1}{6},+\infty \right) $

题目

2008年高考全国一卷理科第 $11$ 题
已知三棱柱 $ ABC-A_1B_1C_1 $ 的侧棱与底面边长都相等, $ A_1 $ 在底面 $ ABC $ 内的射影为 $ \triangle ABC $ 的中心,则 $ AB_1 $ 与底面 $ ABC $ 所成角的正弦值等于
(A). $ \dfrac{1}{3}\qquad $ (B). $ \dfrac{\sqrt{2}}{3}\qquad $ (C).$ \dfrac{\sqrt{3}}{3} \qquad $ (D).$ \dfrac{2}{3} $

题目

已知函数 $$ f(x)=1+x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+\dfrac{x^{2013}}{2013},$$ $$g(x)=1-x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}-\cdots-\dfrac{x^{2013}}{2013} $$ 设函数 $ F(x)=f(x+3)\cdot g(x-4) $ ,且函数 $ F(x) $ 的零点均在区间 $ [a,b] $,$(a,b \in \mathbb{Z} ) $ ，则 $ b-a $ 的最小值为 $\underline{\hspace{2cm}}$.