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赵晚龙的数学之路

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把根留住

赵晚龙 发表于 2018-01-30 | 分类于 解析几何 , 椭圆 , 极点极线问题 , 定值问题

题目

$($ 晋中市 $ 2018 $ 年 $ 1 $ 月高考适应性调研考试理科第 $20$ 题 $)$
已知抛物线 $ C:y^2=2px\left( p>0 \right) $ 的焦点是椭圆 $ M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) $ 的右焦点,且两曲线有公共点 $ \left( \dfrac{2}{3},\dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right) $ .

  1. 求椭圆 $ M $ 的方程;
  2. 椭圆 $ M $ 的左、右顶点分别为 $ A_1,A_2 $ ,若过点 $ B\left( 4,0 \right) $ 且斜率不为零的直线 $ l $ 与椭圆 $ M $ 交于 $ P,Q $ 两点.已知直线 $ A_1P $ 与 $ A_2Q $ 相交于点 $ G $ ,试判断点 $ G $ 是否在一定直线上?若在,请指出定直线的方程;若不在,请说明理由.
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平淡中见神奇

赵晚龙 发表于 2018-01-30 | 分类于 解析几何 , 双曲线 , 离心率

题目

已知 $ F_1 $ , $ F_2 $ 是双曲线 $ C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) $ 的左右焦点,过 $ F_1 $ 的直线 $ l $ 交双曲线的两条渐近线于 $ A $ , $ B $ 两点,且 $ |F_2A|=|F_1B| $ ,又 $ |OA|,|AB|,|OB| $ 成等比数列,则双曲线 $ C $ 的离心率 $ e $ 为
$\quad (A). 2 $ $ \quad(B).\sqrt{5} $ $ \quad (C).2\sqrt{2} $ $ \quad (D).2\sqrt{3} $

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祖暅原理

赵晚龙 发表于 2018-01-28 | 分类于 立体几何 , 体积问题

题目

我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“势”即是高,“幂”是面积.意思是:如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线$C$的渐近线方程为$y=\pm 2x$,一个焦点为$(\sqrt 5,0)$.直线$y=0$与$y=3$在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形$OABN $,则它绕$y$轴旋转一圈所得几何体的体积为 $\underline{\hspace{2cm}}$.latex-image-2

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双曲线中的焦点三角形

赵晚龙 发表于 2018-01-28 | 分类于 解析几何 , 双曲线的定义 , 焦点三角形

题目

设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左、右焦点,过 $F_1$ 的直线 $l$ 与双曲线分别交于 $A,B$ 两点,若 $A$ 在第一象限且 $\triangle ABF_2$ 为等边三角形

  1. 求双曲线的离心率.
  2. 若$A\left( m,18 \right)$,求双曲线的实轴长.
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指对方程

赵晚龙 发表于 2018-01-23 | 分类于 函数 , 函数的零点 , 方程的解

题目

已知 $ x_0 $ 是方程 $ 2x^2e^{2x}+\ln x=0 $ 的实数根,则关于实数 $ x_0 $ 的判断正确的是
$(A). x_0>\ln 2 $ $ (B). 2x_0+\ln x_0=0 $ $ (C).x_0<\dfrac{1}{e} $ $ (D).2e^{x_0}+\ln x_0=0 $

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最小值 PK 极小值点

赵晚龙 发表于 2018-01-22 | 分类于 函数 , 函数的值域

题目

$2018$ 年四川绵阳二诊理科第 $12$ 题
函数 $ f\left( x \right)=e^{x-1}+\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-\ln x-a $ ,若 $ f\left( x \right) $ 与 $ f\left( f\left( x \right) \right) $ 有相同的值域,则实数 $ a $ 的取值范围是
$ (A) \left[ -1,+\infty \right) \quad $ $(B). \left( -\infty,\dfrac{5}{6} \right)\quad $ $(C). \left( -1,e \right)\quad $ $(D). \left[ -\dfrac{1}{6},+\infty \right) $

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眼明手快

赵晚龙 发表于 2018-01-18 | 分类于 立体几何 , 线面角

题目

2008年高考全国一卷理科第 $11$ 题
已知三棱柱 $ ABC-A_1B_1C_1 $ 的侧棱与底面边长都相等, $ A_1 $ 在底面 $ ABC $ 内的射影为 $ \triangle ABC $ 的中心,则 $ AB_1 $ 与底面 $ ABC $ 所成角的正弦值等于
(A). $ \dfrac{1}{3}\qquad $ (B). $ \dfrac{\sqrt{2}}{3}\qquad $ (C).$ \dfrac{\sqrt{3}}{3} \qquad $ (D).$ \dfrac{2}{3} $

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零点问题

赵晚龙 发表于 2018-01-18 | 分类于 函数 , 零点问题

题目

已知函数 $$ f(x)=1+x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+\dfrac{x^{2013}}{2013},$$ $$g(x)=1-x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}-\cdots-\dfrac{x^{2013}}{2013} $$ 设函数 $ F(x)=f(x+3)\cdot g(x-4) $ ,且函数 $ F(x) $ 的零点均在区间 $ [a,b] $,$(a,b \in \mathbb{Z} ) $ ,则 $ b-a $ 的最小值为 $\underline{\hspace{2cm}}$.

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条条大道通罗马

赵晚龙 发表于 2018-01-15 | 分类于 数列 , 递推公式

题目

已知数列 $ \{a_n\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $ , $ a_1=1 $ 且
$$ \begin{split}
\left( n+1 \right)S_n=\left( n+3 \right)S_{n-1}+2\left( n\geqslant2 \right)
\end{split} $$ 求数列 $ \{a_n\} $ 的通项公式.

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定义+射影定理求离心率

赵晚龙 发表于 2018-01-12 | 分类于 解析几何 , 双曲线 , 离心率

题目

过双曲线 $ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) $ 的左焦点 $ F(-c,0) $ 作圆 $ x^2+y^2=a^2 $ 的切线,切点为 $ E $ ,延长 $ FE $ 交抛物线 $ y^2=4cx $ 于点 $ P $ ,若 $ E $ 为线段 $ FP $ 的中点,则双曲线的离心率为
(A) $ \sqrt{5} \qquad $ (B) $ \dfrac{\sqrt5}{2} \qquad $ (C) $ \sqrt{5}+1 \qquad $ (D) $ \dfrac{\sqrt5+1}{2} $

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赵晚龙

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