题目

( 2023年11月太原市高三期中考试第$16$题 )

已知$x_0$是函数 $f(x)=x^2 e^x+\ln x$的零点, 则$e^{x_0} \cdot \ln x_0=$_____.

解析

由题意
\begin{align}
& f\left(x_0\right)=x_0^2 e^{x_0}+\ln x_0=0 \left(x_0 > 0\right)\notag \\\\
\implies & x_0 e^{x_0}+\frac{1}{x_0} \ln x_0=0\notag \\\\
\implies & x_0 e^{x_0}=\frac{1}{x_0} \ln \frac{1}{x_0}\notag \\\\
\implies & x_0 e^{x_0}=\ln \frac{1}{x_0} \cdot e^{\ln \frac{1}{x_0}}\tag{1}
\end{align}
由 $x_0>0$ 和$(1)$ 可得 $\ln \frac{1}{x_0}>0$.
令 $f(x)=x e^x(x>0)$, 则$$f\left(x_0\right)=f(\ln \frac{1}{x_0})$$
因为$f\left(x\right)$在 $(0,+\infty)$上单调递增, 所以
$$ x_0=\ln \frac{1}{x_0}$$
即$x_0=-\ln x_0$,代入下式得
$$ e^{x_0}\cdot \ln x_0=e^{-\ln x_0} \cdot\left(-x_0\right)=\frac{1}{x_0} \cdot\left(-x_0\right)=-1.$$