题目

( 2023年11月太原市高三期中考试第 $16$ 题 )

已知 $x_0$ 是函数 $f(x)=x^2 e^x+\ln x$ 的零点, 则 $e^{x_0} \cdot \ln x_0=$ _____.

解析

由题意

$\begin{align} & f\left(x_0\right)=x_0^2 e^{x_0}+\ln x_0=0 \left(x_0 > 0\right)\notag \\\\ \implies & x_0 e^{x_0}+\frac{1}{x_0} \ln x_0=0\notag \\\\ \implies & x_0 e^{x_0}=\frac{1}{x_0} \ln \frac{1}{x_0}\notag \\\\ \implies & x_0 e^{x_0}=\ln \frac{1}{x_0} \cdot e^{\ln \frac{1}{x_0}}\tag{1} \end{align}$
由

$x_0>0$ 和

$(1)$ 可得

$\ln \frac{1}{x_0}>0$ .
令

$f(x)=x e^x(x>0)$ , 则

$f\left(x_0\right)=f(\ln \frac{1}{x_0})$
因为

$f\left(x\right)$ 在

$(0,+\infty)$ 上单调递增, 所以

$x_0=\ln \frac{1}{x_0}$
即

$x_0=-\ln x_0$ ,代入下式得

$e^{x_0}\cdot \ln x_0=e^{-\ln x_0} \cdot\left(-x_0\right)=\frac{1}{x_0} \cdot\left(-x_0\right)=-1.$