题目

梯形 $ABCD$ 的四个顶点都在抛物线 $E:y^2=4x$ 上，且 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{DC}$ ,直线 $AB$ 过抛物线 $E$ 的焦点 $F$,当直线 $AD$ 与直线 $BC$ 的交点为 $P(0,1)$ 时，求实数 $\lambda$ 的值.

解析

设$A\left(x_{A}, y_{A}\right) ，B\left(x_{B}, y_{B}\right)， C\left(x_{C}, y_{C}\right) \quad D\left(x_{D}, y_{D}\right)$.
设$A D:y=k_{1} x+1$，
由$\left\{\begin{split}y&=k_{1} x+1 \\\ y^{2}&=4 x\end{split}\right.$得$ k_{1} y^{2}-4 y+4=0$,故
$$y_{A}+y_{D}=\frac{4}{k_{1}} ,\qquad y_{A} y_{D}=\frac{4}{k_{1}}$$
所以$y_{A}+y_{D}=y_{A} y_{D}$解得
$$y_{D}=\frac{y_{A}}{y_{A}-1}\quad\qquad(1)$$
同理$$y_{C}=\frac{y_{B}}{y_{B}-1}\quad\qquad (2)$$
设$A B:x=m y+1, \quad C D:x=m y+n \quad(n \neq 1)$
由$\left\{\begin{split}x&=m y+1 \\\ y^{2}&=4 x\end{split}\right.$得 $y^{2}-4 m y-4=0 $,故
$$y_{A}+y_{B}=4 m \quad\quad (3)\qquad\qquad y_{A} y_{B}=-4\quad\quad (4)\qquad\qquad$$
由$\left\{\begin{split}x&=m y+n \\\ y^{2}&=4 x\end{split}\right.$得 $ y^{2}-4 m y-4 n=0$,故
$$ y_{C}+y_{D}=4 m\quad\quad (5)\qquad\qquad y_{C} y_{D}=-4 n\quad\quad (6)\qquad\qquad$$
将$(1), (2)$代入$(5)$得
$$\frac{y_{A}}{y_{A}-1}+\frac{y_{B}}{y_{B}-1}=4m$$
整理得
$$2 y_{A} y_{B}-\left(y_{A}+y_{B}\right)=4 m\left[1-\left(y_{A}+y_{B}\right)+y_{A} y_{B}\right]$$
将$(3),(4)$代入得
$$-8-4 m=4 m(1-4 m-4) $$
解得 $m=\dfrac{1}{2}.$或 $m=-1$.
将$(1), (2)$代入$(6)$得
$$\frac{y_{A} y_{B}}{\left(y_{A}-1\right)\left(y_{B}-1\right)}=-4 n $$
故
$$ n=\frac{1}{y_{A} y_{B}-(y_{A}+y_{B})+1}=\frac{-1}{4 m+3}$$
当$m=-1$时,$ n=1$(舍),当$m=-\dfrac12$时,$n=-\dfrac{1}{5}$.
所以
$$|A B|=\left(x_{A}+\frac{p}{2}\right)+\left(x_{B}+\frac{p}{2}\right)=x_{A}+x_{B}+P=m\left(y_{A}+y_{B}\right)+4=4 m^{2}+4=5,$$
$$|C D|=\sqrt{1+m^2}|y_{C}- y_{D}|=\sqrt{1+m^2}\sqrt{(y_C+y_D)^2-4y_Cy_D}=\sqrt{1+m^2}\sqrt{16m^2+16n}=1.$$
故$ \lambda=\dfrac{|A B|}{|C D|}=5$.