题目

( 2021年3月清华大学中学生标准学术能力诊断性测试理科数学第$12$题 )
已知实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1, a^{2}+b^{2}+c^{2}=1,$ 则 $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ 的最小值是

$$A. \dfrac{1}{3}\qquad\qquad B. \dfrac{5}{9}\qquad\qquad C. \dfrac{7}{9}\qquad \qquad D. 1$$

解析

由
$$1=\left( a+b+c \right)^2=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\left( ab+bc+ca \right)=1+ab+bc+ca$$
得
$$a b+b c+c a=0,$$
由
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c=(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a\right)$ 得
$$a^3+b^3+c^3=3abc+1,$$
令 $f\left( x \right)=\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)$,则 $a,b,c$ 是 $f\left( x \right)=0$ 的三个实数根(可以重根),
$$
\begin{aligned}
f\left( x \right)&=\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)\\
&=x^{3}-(a+b+c) x^{2}+(a b+b c+c a) x-a b c
\end{aligned}
$$
由题意 $f\left( x \right)=x^3-x^2-abc$,令 $f’\left( x \right)=3x^2-2x=0$ 得 $x=0$ 或 $x=\dfrac{2}{3}$,
易得 $f\left( 0 \right)$ 为 $f(x)$ 的极大值，$f(\dfrac{2}{3})$ 为$f(x)$ 的极小值，要使 $f\left( x \right)$ 有三个实数根，则
$$f\left( 0 \right)=-abc\geqslant0,\quad\land \quad f(\dfrac{2}{3})=-\dfrac{4}{27}-abc\leqslant0，$$
所以
$$-\dfrac{4}{27}\leqslant abc \leqslant0$$
所以
$$a^3+b^3+c^3=3abc+1\geqslant 3\times(-\dfrac{4}{27})+1=\dfrac{5}{9}.$$
当 $\left( a,b,c \right)=\left( \dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right)$ 时，等式成立.