题目

$ 2018 $ 届山西省六校（长治二中，晋城一中、康杰中学、临汾一中等）高三第四次名校联考理科 $ 21 $ 题
已知函数 $ f\left( x \right)=mx\ln x $ .

当 $ m>0 $ 时，求函数 $ F\left( x \right)=f\left( x \right)-x+1 $ 的单调区间；
若对任意 $ x\in\left( 0,+\infty \right) $ ， $ f\left( x \right)\geqslant x-1 $ 的恒成立，求 $ m $ 的值.

解析

因为 $ F\left( x \right)=f\left( x \right)-x+1=mx\ln x-x+1,\left( x>0 \right) $ ,所以 $$ F’\left( x \right)=m\ln x+m-1 $$ 由 $ m>0 $ ,令 $ F’\left( x \right)=0 $ 得 $$ x=e^{\frac{1-m}{m}}>0,$$ 当 $ x\in\left( 0,e^{\frac{1-m}{m}} \right) $ 时， $ F’\left( x \right) < 0 $ ; 当 $ x\in\left( e^{\frac{1-m}{m}},+\infty \right) $ 时， $ F’\left( x \right)>0 $ .
所以 $ F\left( x \right) $ 的减区间为: $ \left( 0,e^{\frac{1-m}{m}} \right) $; 增区间为: $ \left( e^{\frac{1-m}{m}},+\infty \right) $ .
当 $ x>0 $ 时， $ f\left( x \right)\geqslant x-1 $ 即 $$ mx\ln x-x+1\geqslant 0 $$ 由于 $ x>0 $ ,所以 $$ m\ln x-1+\dfrac{1}{x}\geqslant 0 $$ 设 $$ g\left( x \right)=m\ln x-1+\dfrac{1}{x} $$ 问题即 $ x>0 $ 时， $ g\left( x \right)\geqslant 0 $ 恒成立.
注意到 $ g\left( 1 \right)=0 $ ,所以 $ x>0 $ 时， $ g\left( x \right)\geqslant g\left( 1 \right) $ 恒成立.
所以 $ x=1 $ 是 $ g\left( x \right) $ 的一个极小值点,所以 $$ g’\left( 1 \right)=0 ,$$ 又 $$ g’\left( x \right)=\dfrac{m}{x}-\dfrac{1}{x^2} $$ 所以 $$ g’\left( 1 \right)=m-1=0 $$ 所以 $ m=1 $ . 另一方面，当 $ m=1 $ 时， $$ g’\left( x \right)=\dfrac{x-1}{x^2} $$ 当 $ x\in\left( 0,1 \right) $ 时, $ g’\left( x \right) < 0 $ , $ g\left( x \right) $ 单调递减；当 $ x\in\left( 1,+\infty \right) $ 时, $ g’\left( x \right)>0 $ , $ g\left( x \right) $ 单调递增.
所以 $ x>0 $ 时 $$ g\left( x \right)\geqslant g\left( 1 \right)=0 $$ 命题成立.
综上所述，实数 $ m $ 的值为 $ 1 $ .