面积的最值

题目

$($ 晋中市 $2018$ 年 $3$ 月高考适应性考试文科第 $12$ 题 $)$
已知函数 $f(x)=x+\ln(e^x+1)$ 图象上三个不同点 $A$,$B$,$C$ 的横坐标成公差为 $1$ 的等差数列，则 $\triangle ABC $ 面积的最大值为
$(A).\ln\dfrac{e+1}{2\sqrt{e}}\qquad (B).\ln\dfrac{(e+1)^2}{4e}\qquad (C).\ln\dfrac{\sqrt{1+e^2}}{1+e}\qquad (D).\ln\dfrac{2(1+e^2)}{(1+e)^2}$

解析一

设 $A\left(x-1,f(x-1)\right)$,$B(x,f(x))$,$C(x+1,f(x+1)$,易得 $\triangle ABC$ 的面积 $$ S(x)=\dfrac{f(x-1)+f(x+1)-2f(x)}{2} $$
由 $f(x)=x+\ln(e^x+1)$ 得 $$ 2S(x)=x-1+\ln(e^{x-1} +1)+x+1+\ln(e^{x+1}+1)-2(x+\ln(e^x+1))$$所以 $$ 2S(x)=\ln\dfrac{(e^{x-1} +1)(e^{x+1}+1)}{(e^x+1)^2}$$ 而 $$ \begin{array}{rl}
\dfrac{(e^{x-1} +1)(e^{x+1}+1)}{(e^x+1)^2}&= \dfrac{e^{2x}+e^{x-1}+e^{x+1}+1}{e^{2x}+2e^x+1}\\\ &= \dfrac{e^x+\frac{1}{e^x}+e+e^{-1}}{e^x+\frac{1}{e^x}+2}\\\ &= \dfrac{e+e^{-1}-2}{e^x+\frac{1}{e^x}+2}+1\\\ &\leqslant \dfrac{e+e^{-1}-2}{2+2}+1=\dfrac{(e+1)^2}{4e}
\end{array} $$ 当且仅当 $e^x=\dfrac{1}{e^x}$ 即 $x=0$ 取等号. 所以 $$ 2S(x)\leqslant \ln\dfrac{(e+1)^2}{4e}$$ 所以 $$ S(x)_{\max}=S(0)=\ln\dfrac{e+1}{2\sqrt{e}}.$$

解析二

设 $A\left(x-1,f(x-1)\right)$,$B(x,f(x))$,$C(x+1,f(x+1)$,易得 $\triangle ABC$ 的面积 $$ S(x)=\dfrac{f(x-1)+f(x+1)-2f(x)}{2} $$ $f(x)$的导函数为 $$f’(x)=1+\frac{e^x}{e^x+1}=2-\frac{1}{e^x+1} $$ 故 $$S’(x)= \dfrac{f’(x-1)+f’(x+1)-2f’(x)}{2}=\frac{(e-1)^2 e^x \left(1-e^x\right)}{2 \left(e^x+1\right) \left(e^x+e\right) \left(e^{x+1}+1\right)} $$ 当 $x\in(-\infty,0) $时,$S’(x)>0$, $S(x)$单调递增;当 $x\in(0,+\infty) $时,$S’(x)<0$, $S(x)$单调递减.所以 $$ S(x)_{\max}=S(0)=\ln\dfrac{e+1}{2\sqrt{e}}.$$