面积坐标公式

赵晚龙 发表于 | 分类于 ， ， |

题目

$($ 晋中市 $ 2018 $ 年 $ 1 $ 月高考适应性调研考试文科第 $20$ 题 $)$
已知抛物线 $ C:y^2=2px\left( p>0 \right) $ 的焦点是椭圆 $ M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) $ 的右焦点，且两曲线有公共点 $ \left( \dfrac{2}{3},\dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right) $ .

  1. 求椭圆 $ M $ 的方程;
  2. $O$为坐标原点，$A$,$B$,$C$是椭圆$M$上不同的三点，并且$O$为$\triangle ABC$的重心，试探究$\triangle ABC$的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

解析

  1. 由题意 $ \left(\dfrac{ 2\sqrt{6}}3 \right)^2=2p\times \dfrac{2}{3} $ 所以 $ p=2 $ ,所以 $$ a^2-b^2=1 $$ 又 $$ \dfrac{4}{9a^2}+\dfrac{24}{9b^2}=1 $$ 解得 $$ a^2 = 4,b^2 = 3 $$ 椭圆的方程为 $ \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 $ .
  2. 设 $ A\left( a\cos\alpha,b\sin\alpha \right) $ , $ B\left( a\cos\beta,b\sin\beta \right) $ , $ C\left( x_3,y_3 \right) $ , 因为 $ O\left( 0,0 \right) $ 为 $ \triangle ABC $ 的重心，由重心坐标公式 $$ a\cos\alpha+a\cos\beta+x_3=0,b\sin\alpha+b\sin\beta+y_3=0 $$ 所以 $$ x_3=-a\left( \cos\alpha+\cos\beta \right),\qquad y_3=-b\left( \sin\alpha+\sin\beta \right) $$ 将 $ C\left( x_3,y_3 \right) $ 代入椭圆 $ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 $ 可得 $$ \left( \cos\alpha+\cos\beta \right)^2+\left( \sin\alpha+\sin\beta \right)^2=1 $$ 整理得 $$ \cos\left( \alpha-\beta \right)=-\dfrac{1}{2} $$ 由三角形的面积坐标公式可得 $ \triangle OAB $ 的面积 $$\begin{split} S_{\triangle OAB}&=\dfrac{1}{2}|x_Ay_B-x_By_A|\\\ &=\dfrac{1}{2}|ab\cos\alpha\sin\beta-ab\sin\alpha\cos\beta|\\\ &=\dfrac{1}{2}ab|\sin\left( \alpha-\beta \right)|\\\ &=\dfrac{1}{2}ab\times \sqrt{1-\cos^2\left( \alpha-\beta \right)}\\\ &=\dfrac{\sqrt{3}}{4}ab \end{split}$$ 所以 $ \triangle ABC $ 的面积为 $$ S=3S_{\triangle OAB}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}ab=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\times 2\times \sqrt{3}=\dfrac{9}{2}. $$

练习

  1. 若 $A,B,P$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上的点，$O$ 为坐标原点，且四边形 $OAPB$ 为平行四边形，求四边形 $OAPB$ 的面积.
  2. 若$A,B$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上的点，$O$ 为坐标原点，求三角形 $OAB$ 的面积的最大值.

答案: $1.\dfrac{\sqrt{3}}{2}ab$;$\qquad 2.\dfrac{1}{2}ab $.

三角形面积的坐标公式:

  1. 若 $ O\left( 0,0 \right) $ , $ A\left( x_1,y_1 \right) $ , $ B\left( x_2,y_2 \right) $ ,则 $$ S_{\triangle AOB}=\dfrac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1| .$$ 证明:设直线 $ OA $ 的方程为 $ y_1x-x_1y=0 $ ,则点 $ B $ 到直线 $ OA $ 的距离为 $$ d=\dfrac{|x_2y_1-x_1y_2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} $$ 又 $ |OA|=\sqrt{x_1^2+y_1^2} $ ,所以 $ \triangle OAB $ 的面积为 $$ S_{\triangle OAB}=\dfrac{1}{2}\cdot|OA|\cdot d=\dfrac{1}{2}\times \sqrt{x_1^2+y_1^2}\times\dfrac{|x_2y_1-x_1y_2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}=\dfrac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1| $$
  2. 若 $A\left( x_1,y_1 \right)$,$B\left( x_2,y_2 \right)$,$C\left( x_3,y_3 \right)$ ,则 $\triangle ABC$ 的面积与向量 $$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1),$$ $$\overrightarrow{AC}=(x_3-x_1,y_3-y_1).$$ 围成的三角形面积相等，其面积为 $$ S=\dfrac{1}{2}|\left( x_2-x_1 \right)\left( y_3-y_1 \right)-\left( x_3-x_1 \right)\left( y_2-y_1 \right)|.$$
  3. 若已知凸四边形四个顶点坐标，面积公式又是什么?