把根留住

题目

$($ 晋中市 $2018$ 年 $1$ 月高考适应性调研考试理科第 $20$ 题 $)$
已知抛物线 $C:y^2=2px\left( p>0 \right)$ 的焦点是椭圆 $M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点，且两曲线有公共点 $\left( \dfrac{2}{3},\dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right)$ .

1. 求椭圆 $M$ 的方程;
2. 椭圆 $M$ 的左、右顶点分别为 $A_1,A_2$ ,若过点 $B\left( 4,0 \right)$ 且斜率不为零的直线 $l$ 与椭圆 $M$ 交于 $P,Q$ 两点.已知直线 $A_1P$ 与 $A_2Q$ 相交于点 $G$ ,试判断点 $G$ 是否在一定直线上?若在，请指出定直线的方程；若不在，请说明理由.

解析

1. 由题意 $\left(\dfrac{ 2\sqrt{6}}3 \right)^2=2p\times \dfrac{2}{3}$ 所以 $p=2$ ,所以 $$a^2-b^2=1$$ 又 $$\dfrac{4}{9a^2}+\dfrac{24}{9b^2}=1$$ 解得 $$a^2 = 4,b^2 = 3$$ 椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ .
2. 设 $P\left( x_1,y_1 \right),Q\left( x_2,y_2 \right)$ ,直线 $PQ$ 的方程 $x=my+4$ ,由 $\left\{\begin{array}{l} x=my+4, \\\ \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1,\end{array} \right.$ 可得 $$\left( 3m^2+4 \right)y^2+24my+36=0$$ 所以 $$\Delta>0,\qquad y_1+y_2=-\dfrac{24m}{3m^2+4},\qquad y_1y_2=\dfrac{36}{3m^2+4}$$

方法一

直线 $A_1P$ 的斜率 $k_1=\dfrac{y_1}{x_1+2}$ ,直线 $A_2Q$ 的斜率 $k_2=\dfrac{y_2}{x_2-2}$ .由

$$\left\{\begin{array}{l} y=k_1\left( x+2 \right), \\\ y=k_2\left( x-2 \right), \end{array} \right.$$ 解得 $G$ 点的横坐标 $$x_{G}=\dfrac{2\left( k_1+k_2 \right)}{k_2-k_1}=\dfrac{2\left( x_1y_2+x_2y_1 \right)+4\left( y_2-y_1 \right)}{\left( x_1y_2-x_2y_1 \right)+2\left( y_1+y_2 \right)}$$ 将 $x_1=my_1+4,x_2=my_2+4$ 代入整理得 $$x_G=\dfrac{2my_1y_2+2y_1+6y_2}{3y_2-y_1}\qquad (1)$$ 因为 $$\dfrac{y_1+y_2}{y_1y_2}=\dfrac{-24m}{36}=\dfrac{-2m}{3}$$ 所以 $$2my_1y_2=-3\left( y_1+y_2 \right)$$ 代入 $(1)$ 得 $$x_G=\dfrac{-3\left( y_1+y_2 \right)+2y_1+6y_2}{3y_2-y_1}=1$$ 所以 $G$ 在定直线 $x=1$ 上.

方法二

由椭圆方程可得直线 $A_1P$ 的斜率

$$k_1=\dfrac{y_1}{x_1+2}=\dfrac{-3\left( x_1-2 \right)}{4y_1}$$ 直线 $A_2Q$ 的斜率 $k_2=\dfrac{y_2}{x_2-2}$ .由 $$\left\{\begin{array}{l}y=k_1\left( x+2 \right), \\\ y=k_2\left( x-2 \right),\end{array} \right.$$ 解得 $G$ 点的横坐标 $$x_{G}=\dfrac{2\left( k_1+k_2 \right)}{k_2-k_1}=\dfrac{2\left( \frac{y_2}{x_2-2}-\frac{3\left( x_1-2 \right)}{4y_1} \right)}{\frac{y_2}{x_2-2}+\frac{3\left( x_1-2 \right)}{4y_1}}=\dfrac{8y_1y_2-3\left( x_1-2 \right)\left( x_2-2 \right)}{4y_1y_2+3\left( x_1-2 \right)\left( x_2-2 \right)}$$ 将 $x_1=my_1+4,x_2=my_2+4$ 代入整理得 $$x_{G}=\dfrac{\left( 8-6m^2 \right)y_1y_2-12m\left( y_1+y_2 \right)-24}{\left( 3m^2+4 \right)y_1y_2+6m\left( y_1+y_2 \right)+12}=\dfrac{\frac{72\left( 4-3m^2 \right)}{3m^2+4}+\frac{24\times12m^2}{3m^2+4}-24}{48-\frac{24\times6m^2}{3m^2+4}}=1$$ 所以 $G$ 在定直线 $x=1$ 上.

方法三

直线 $AP$ 的方程为: $y=\dfrac{y_1}{x_1+2}\left( x+2 \right)$ ,直线 $AQ$ 的方程为: $y=\dfrac{y_2}{x_2-2}\left( x-2 \right)$ .联立解得 $G$ 点的横坐标

$$x_{G}=\dfrac{2\left( x_1y_2+x_2y_1 \right)+4\left( y_2-y_1 \right)}{\left( x_1y_2-x_2y_1 \right)+2\left( y_1+y_2 \right)}\quad (1)$$ 因为 $B,P,Q$ 三点共线，所以 $$\dfrac{y_1}{x_1-4}=\dfrac{y_2}{x_2-4}$$ 整理得
$$x_1y_2-x_2y_1=4\left( y_2-y_1 \right)\qquad (2)$$ 因为 $$\begin{split} x_1y_2+x_2y_1&=\left( my_1+4 \right)y_2+\left( my_2+4 \right)y_1\\\\ &=2my_1y_2+4\left( y_1+y_2 \right)\\\\ &=-3\times\dfrac{-24m}{3m^2+4}+4\left( y_1+y_2 \right)\\\\ &=-3\left( y_1+y_2 \right)+4\left( y_1+y_2 \right)\\ &=y_1+y_2 \end{split}$$ 所以 $$x_1y_2+x_2y_1=y_1+y_2\qquad (3)$$ 由 $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ 可得 $x_G=1$ .