题目

$($ 晋中市 $ 2018 $ 年 $ 1 $ 月高考适应性调研考试理科第 $20$ 题 $)$
已知抛物线 $ C:y^2=2px\left( p>0 \right) $ 的焦点是椭圆 $ M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) $ 的右焦点，且两曲线有公共点 $ \left( \dfrac{2}{3},\dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right) $ .

求椭圆 $ M $ 的方程;
椭圆 $ M $ 的左、右顶点分别为 $ A_1,A_2 $ ,若过点 $ B\left( 4,0 \right) $ 且斜率不为零的直线 $ l $ 与椭圆 $ M $ 交于 $ P,Q $ 两点.已知直线 $ A_1P $ 与 $ A_2Q $ 相交于点 $ G $ ,试判断点 $ G $ 是否在一定直线上?若在，请指出定直线的方程；若不在，请说明理由.

解析

由题意 $ \left(\dfrac{ 2\sqrt{6}}3 \right)^2=2p\times \dfrac{2}{3} $ 所以 $ p=2 $ ,所以 $$ a^2-b^2=1 $$ 又 $$ \dfrac{4}{9a^2}+\dfrac{24}{9b^2}=1 $$ 解得 $$ a^2 = 4,b^2 = 3 $$ 椭圆的方程为 $ \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 $ .
设 $ P\left( x_1,y_1 \right),Q\left( x_2,y_2 \right) $ ,直线 $ PQ $ 的方程 $ x=my+4 $ ,由 $ \left\{\begin{array}{l} x=my+4, \\\ \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1,\end{array} \right.$ 可得 $$ \left( 3m^2+4 \right)y^2+24my+36=0 $$ 所以 $$ \Delta>0,\qquad y_1+y_2=-\dfrac{24m}{3m^2+4},\qquad y_1y_2=\dfrac{36}{3m^2+4} $$

方法一

直线 $ A_1P $ 的斜率 $ k_1=\dfrac{y_1}{x_1+2} $ ,直线 $ A_2Q $ 的斜率 $ k_2=\dfrac{y_2}{x_2-2} $ .由 $$ \left\{\begin{array}{l} y=k_1\left( x+2 \right), \\\ y=k_2\left( x-2 \right), \end{array} \right. $$ 解得 $ G $ 点的横坐标 $$ x_{G}=\dfrac{2\left( k_1+k_2 \right)}{k_2-k_1}=\dfrac{2\left( x_1y_2+x_2y_1 \right)+4\left( y_2-y_1 \right)}{\left( x_1y_2-x_2y_1 \right)+2\left( y_1+y_2 \right)} $$ 将 $ x_1=my_1+4,x_2=my_2+4 $ 代入整理得 $$x_G=\dfrac{2my_1y_2+2y_1+6y_2}{3y_2-y_1}\qquad (1)$$ 因为 $$\dfrac{y_1+y_2}{y_1y_2}=\dfrac{-24m}{36}=\dfrac{-2m}{3} $$ 所以 $$ 2my_1y_2=-3\left( y_1+y_2 \right) $$ 代入 $ (1) $ 得 $$x_G=\dfrac{-3\left( y_1+y_2 \right)+2y_1+6y_2}{3y_2-y_1}=1 $$ 所以 $ G $ 在定直线 $ x=1 $ 上.

方法二

由椭圆方程可得直线 $ A_1P $ 的斜率$$ k_1=\dfrac{y_1}{x_1+2}=\dfrac{-3\left( x_1-2 \right)}{4y_1} $$ 直线 $ A_2Q $ 的斜率 $ k_2=\dfrac{y_2}{x_2-2} $ .由 $$ \left\{\begin{array}{l}y=k_1\left( x+2 \right), \\\ y=k_2\left( x-2 \right),\end{array} \right.$$ 解得 $ G $ 点的横坐标 $$ x_{G}=\dfrac{2\left( k_1+k_2 \right)}{k_2-k_1}=\dfrac{2\left( \frac{y_2}{x_2-2}-\frac{3\left( x_1-2 \right)}{4y_1} \right)}{\frac{y_2}{x_2-2}+\frac{3\left( x_1-2 \right)}{4y_1}}=\dfrac{8y_1y_2-3\left( x_1-2 \right)\left( x_2-2 \right)}{4y_1y_2+3\left( x_1-2 \right)\left( x_2-2 \right)} $$ 将 $ x_1=my_1+4,x_2=my_2+4 $ 代入整理得 $$ x_{G}=\dfrac{\left( 8-6m^2 \right)y_1y_2-12m\left( y_1+y_2 \right)-24}{\left( 3m^2+4 \right)y_1y_2+6m\left( y_1+y_2 \right)+12}=\dfrac{\frac{72\left( 4-3m^2 \right)}{3m^2+4}+\frac{24\times12m^2}{3m^2+4}-24}{48-\frac{24\times6m^2}{3m^2+4}}=1 $$ 所以 $ G $ 在定直线 $ x=1 $ 上.

方法三

直线 $ AP $ 的方程为: $ y=\dfrac{y_1}{x_1+2}\left( x+2 \right) $ ,直线 $ AQ $ 的方程为: $ y=\dfrac{y_2}{x_2-2}\left( x-2 \right) $ .联立解得 $ G $ 点的横坐标 $$ x_{G}=\dfrac{2\left( x_1y_2+x_2y_1 \right)+4\left( y_2-y_1 \right)}{\left( x_1y_2-x_2y_1 \right)+2\left( y_1+y_2 \right)}\quad (1) $$ 因为 $ B,P,Q $ 三点共线，所以 $$ \dfrac{y_1}{x_1-4}=\dfrac{y_2}{x_2-4} $$ 整理得
$$ x_1y_2-x_2y_1=4\left( y_2-y_1 \right)\qquad (2) $$ 因为 $$ \begin{split}
x_1y_2+x_2y_1&=\left( my_1+4 \right)y_2+\left( my_2+4 \right)y_1\\\\
&=2my_1y_2+4\left( y_1+y_2 \right)\\\\
&=-3\times\dfrac{-24m}{3m^2+4}+4\left( y_1+y_2 \right)\\\\
&=-3\left( y_1+y_2 \right)+4\left( y_1+y_2 \right)\\
&=y_1+y_2
\end{split}$$ 所以 $$ x_1y_2+x_2y_1=y_1+y_2\qquad (3) $$ 由 $ \left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) $ 可得 $ x_G=1 $ .