中线

已知 $ \triangle ABC $ 的三条中线分别为 $ m_a,m_b,m_c $,记 $ m=\frac{m_a+m_b+m_c}{2} $ ,则 $\triangle ABC$的面积为 $$ S=\dfrac{4}{3}\sqrt{m(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)} $$

高

已知 $ \triangle ABC $ 的三条高分别为 $ h_a,h_b,h_c $,记 $ H=\frac{h_a^{-1}+h_b^{-1}+h_c^{-1}}{2} $ ,则 $\triangle ABC$的面积为
$$ S^{-1}=4\sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})} $$

正弦

若 $\triangle ABC $ 的三个内角为 $ A,B,C $,记 $ m=\dfrac{\sin A+\sin B+\sin C}{2} $ , 外接圆的半径为 $ R $,则 $ \triangle ABC $ 的面积
$$ S=4R^2 \sqrt{m(m-\sin A)(m-\sin B)(m-\sin C)}$$