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（$2013$ 年高考湖北理科第 $10$ 题） 　
已知 $a$ 为常数,函数 $f(x)=x(\ln x-ax)$ 有两个极值点$x_1,x_2(x_1 < x_2)$,则
$(A).f(x_1) > 0,f(x_2) > -\dfrac 12\quad$
$(B).f(x_1) < 0,f(x_2) < -\dfrac 12$
$(C).f(x_1) > 0,f(x_2) < -\dfrac 12\quad$
$ (D).f(x_1) < 0,f(x_2) > -\dfrac 12$

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如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AD\perp AC$ 且 $AD$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，$3\angle B+4\angle C=180^\circ $ ，$BD=2$ ，$CD=7$,求 $AB$ 的长.2018080901

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设 $\alpha ,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) $ ，且 $\sin ^2\alpha +\sin^2\beta =\sin (\alpha +\beta )$，求证 $\alpha +\beta=\dfrac{\pi}{2} $．

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若直线 $y=kx+2$ 与函数 $y=\mathrm{e}^x$ 交于 $A$ 、$B$ 两点，$O$ 为坐标原点，当 $\triangle OAB$ 面积取最小值时，求 $k$ 的值.

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山西省晋中市 $2018$ 年 $5$ 月高考适应性调研考试理科第 $16$ 题
在 $ \triangle ABC $ 中,角 $ A,B,C $ 所对的边分别为 $ a,b,c $ ,若 $ 4a^2+b^2+c^2=8 $ ,则 $ \triangle ABC $ 面积的最大值为 $ \underline{\hspace{2cm}} $ .

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已知函数 $ f(x)=2\cos\left( 2x+\varphi \right),\left( |\varphi| < \dfrac{\pi}{2} \right) $ 在区间 $ (\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{12}] $ 上单调,则 $ 2\sin\left( \varphi-\dfrac{\pi}{3} \right) $ 的取值范围是
$ (A).(-1,1]\quad (B).[-\sqrt{3},1]\quad (C),(-2,-1]\quad (D).[-2,-1] $

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如图,已知椭圆 $ C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) $ ，点 $ P\left( -a,0 \right)$,$ T\left( t,0 \right)\left( t\neq\pm a \right) $ 为 $ x $ 轴上的定点，过点 $ T $ 作斜率为 $ k_1\left( k_1\neq0 \right) $ 的直线 $ l $ 交椭圆 $ C $ 于 $ A $ 、 $ B $ 两点， $ \triangle PAB $ 的外心为点 $ M $ , $ O $ 为坐标原点，若直线 $ OM $ 的斜率为 $ k_2 $ ,求证 $ k_1k_2 $ 为定值，并求出该定值.
2018042501

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太原市 $2018$ 年高三年级二模理科第 $16$ 题
$\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0$ 且 $\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}=0$，若$\dfrac{\tan A+\tan B}{\tan A\tan B}=\dfrac{\lambda}{\tan C}$，则实数 $\lambda$ 的值是$\underline{\hspace{2cm}}$．

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