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赵晚龙的数学之路

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存在性问题与定义域

赵晚龙 发表于 2018-10-26 | 分类于 函数

题目

( $ 2018 $ 年山西省晋商四校 $ 10 $ 月月考文科第 $ 12 $ 题 )

已知函数 $ f\left(x\right)=\mathrm{e}^x-ex $ , $ g\left( x \right)=\ln\left( 2ax+\mathrm{e}+1 \right) $ ,若存在 $ x_0\in\left( 0,1 \right) $ ,使得 $ f\left( x_0 \right)=g\left( x_0 \right) $ 成立,则 $ a $ 的取值范围

$ (A).\left( -\dfrac{\mathrm{e}+1}{2},-\dfrac{\mathrm{e}}{2} \right) \\\ $
$ (B).\left( -\dfrac{\mathrm{e}+1}{2},\mathrm{e} \right) \\\\$
$ (C).\left( -\infty,-\dfrac{\mathrm{e}}{2}\right) \\\ $
$ (D). \left( -\mathrm{e},-1\right) $

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三角变换

赵晚龙 发表于 2018-10-20 | 分类于 三角

题目

已知 $ m=\dfrac{\tan\left( \alpha+\beta+\gamma \right)}{\tan\left( \alpha-\beta+\gamma \right)} $ ,若 $ \sin2\left( \alpha+\gamma \right)=3\sin2\beta $ ,求 $ m $.

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放缩法证明函数不等式

赵晚龙 发表于 2018-10-09 | 分类于 函数

题目

( 介休一中 $2018$ 年高三 $9$ 月月考理科第 $21$ 题 )
已知函数 $f\left( x \right)=a\ln x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x^2}$ , $a\in \mathbb{R}$.

  1. 讨论函数 $f\left(x\right)$ 的单调性;
  2. 证明: $\left( x-1 \right)\left( \mathrm{e}^{-x}-x \right)+2\ln x<\dfrac{2}{3}$.
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单调性估值

赵晚龙 发表于 2018-10-04 | 分类于 函数

题目

($2013$ 年高考湖北理科第 $10$ 题)  
已知 $a$ 为常数,函数 $f(x)=x(\ln x-ax)$ 有两个极值点$x_1,x_2(x_1 < x_2)$,则
$(A).f(x_1) > 0,f(x_2) > -\dfrac 12\quad$
$(B).f(x_1) < 0,f(x_2) < -\dfrac 12$
$(C).f(x_1) > 0,f(x_2) < -\dfrac 12\quad$
$ (D).f(x_1) < 0,f(x_2) > -\dfrac 12$

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二次型递推数列

赵晚龙 发表于 2018-09-02 | 分类于 数列

题目

已知 $a_1=20$,$5a_{n+1}=4a_n^2+20a_n$,求 $a_n$.

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构造三角形

赵晚龙 发表于 2018-08-09 | 分类于 平面几何

题目

如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD\perp AC$ 且 $AD$ 交 $BC$ 于点 $D$ ,$3\angle B+4\angle C=180^\circ $ ,$BD=2$ ,$CD=7$,求 $AB$ 的长.2018080901

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非负实数

赵晚龙 发表于 2018-07-12 | 分类于 三角函数

题目

设 $\alpha ,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) $ ,且 $\sin ^2\alpha +\sin^2\beta =\sin (\alpha +\beta )$,求证 $\alpha +\beta=\dfrac{\pi}{2} $.

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分离变量

赵晚龙 发表于 2018-05-24 | 分类于 函数

题目

若直线 $y=kx+2$ 与函数 $y=\mathrm{e}^x$ 交于 $A$ 、$B$ 两点,$O$ 为坐标原点,当 $\triangle OAB$ 面积取最小值时,求 $k$ 的值.

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与三角形面积相关的一个不等式的证明

赵晚龙 发表于 2018-05-09 | 分类于 解三角形

命题

若实数 $ x,y,z $ 满足 $$ xy+yz+zx>0,x+y>0,y+z>0,z+x>0 ,$$ 且 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ S $ ,则
$$ xa^2+yb^2+zc^2\geqslant 4S\sqrt{xy+yz+zx} $$

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面积的最大值

赵晚龙 发表于 2018-05-07 | 分类于 三角函数

题目

山西省晋中市 $2018$ 年 $5$ 月高考适应性调研考试理科第 $16$ 题
在 $ \triangle ABC $ 中,角 $ A,B,C $ 所对的边分别为 $ a,b,c $ ,若 $ 4a^2+b^2+c^2=8 $ ,则 $ \triangle ABC $ 面积的最大值为 $ \underline{\hspace{2cm}} $ .

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赵晚龙

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