题目

( 2019 年 1 月晋中市高考适应性调研考试理科第 21 题 )
已知函数$f\left( x \right)=\dfrac{a}{2}\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^x-a,\left( a\in \mathbf{R} \right)$.

1. 讨论函数 $f\left(x\right)$ 的单调性；
2. 若函数$g\left( x \right)=x\ln x-f\left( \ln x \right)$有两个不同的极值点$x_1,x_2$,证明:$x_1\cdot x_2 > \mathrm{e}^2$.

题目

( 2018 年 11 月金太阳百校联考理科第 21 题 )
已知函数 $f(x)=ae^x-x+1$ 有两个零点 $x_1,x_2$.

1. 求 $a$ 的取值范围;
2. 设 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点，证明: $x_1+x_2<2x_0$.

题目

( $ 2018 $ 年山西省晋商四校 $ 10 $ 月月考文科第 $ 12 $ 题 )

已知函数 $ f\left(x\right)=\mathrm{e}^x-ex $ ， $ g\left( x \right)=\ln\left( 2ax+\mathrm{e}+1 \right) $ ,若存在 $ x_0\in\left( 0,1 \right) $ ，使得 $ f\left( x_0 \right)=g\left( x_0 \right) $ 成立，则 $ a $ 的取值范围

$ (A).\left( -\dfrac{\mathrm{e}+1}{2},-\dfrac{\mathrm{e}}{2} \right) \\\ $
$ (B).\left( -\dfrac{\mathrm{e}+1}{2},\mathrm{e} \right) \\\\$
$ (C).\left( -\infty,-\dfrac{\mathrm{e}}{2}\right) \\\ $
$ (D). \left( -\mathrm{e},-1\right) $

题目

已知 $ m=\dfrac{\tan\left( \alpha+\beta+\gamma \right)}{\tan\left( \alpha-\beta+\gamma \right)} $ ，若 $ \sin2\left( \alpha+\gamma \right)=3\sin2\beta $ ，求 $ m $.

题目

（ 介休一中 $2018$ 年高三 $9$ 月月考理科第 $21$ 题 ）
已知函数 $f\left( x \right)=a\ln x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x^2}$ ， $a\in \mathbb{R}$.

1. 讨论函数 $f\left(x\right)$ 的单调性;
2. 证明: $\left( x-1 \right)\left( \mathrm{e}^{-x}-x \right)+2\ln x<\dfrac{2}{3}$.

题目

（$2013$ 年高考湖北理科第 $10$ 题） 　
已知 $a$ 为常数,函数 $f(x)=x(\ln x-ax)$ 有两个极值点$x_1,x_2(x_1 < x_2)$,则
$(A).f(x_1) > 0,f(x_2) > -\dfrac 12\quad$
$(B).f(x_1) < 0,f(x_2) < -\dfrac 12$
$(C).f(x_1) > 0,f(x_2) < -\dfrac 12\quad$
$ (D).f(x_1) < 0,f(x_2) > -\dfrac 12$

题目

已知 $a_1=20$，$5a_{n+1}=4a_n^2+20a_n$，求 $a_n$.

题目

如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AD\perp AC$ 且 $AD$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，$3\angle B+4\angle C=180^\circ $ ，$BD=2$ ，$CD=7$,求 $AB$ 的长.

题目

设 $\alpha ,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) $ ，且 $\sin ^2\alpha +\sin^2\beta =\sin (\alpha +\beta )$，求证 $\alpha +\beta=\dfrac{\pi}{2} $．

题目

若直线 $y=kx+2$ 与函数 $y=\mathrm{e}^x$ 交于 $A$ 、$B$ 两点，$O$ 为坐标原点，当 $\triangle OAB$ 面积取最小值时，求 $k$ 的值.