题目

已知 $A$、$B$ 是椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}4{}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 上的两个关于原点对称的点，$F$ 为椭圆 $\Gamma$ 的右焦点，直线 $AF$ 与 $BF$ 分别与椭圆 $\Gamma$ 交于点 $C$ 和点 $D$,设直线 $AB$, $CD$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$,是否存在实数 $\lambda$,使得 $k_2=\lambda k_1$,若存在，求出 $\lambda$ 的值:若不存在,说明理由.

题目

( 2019 年 3 月山西省高考适应性调研考试理科第 21 题 )
已知函数 $f(x)=(k x-1) e^{x}-k(x-1)$.

1. 若 $f\left( x \right)$ 在 $x=x_0$ 处的切线斜率与 $k$ 无关,求 $x_0$;

2. 若 $\exists x \in \mathbb{R}$,使得 $f(x)<0$ 成立,求整数 $k$ 的最大値.

题目

( 2019 年 1 月晋中市高考适应性调研考试理科第 20 题 )
已知点 $P$ 为圆 $F:(x-1)^{2}+y^{2}=16$ 上的动点，点 $E ( - 1,0 )$,线段 $PE$ 的垂直平分线与线段 $PF$ 交于点 $M$,记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$.

1. 求曲线 $C$ 的方程;
2. 已知点 $A _ 1 ( - 2,0 ) , A _2( 2,0 )$, 直线 $l$ 过点 $F$ 且与 $x$ 轴不重合，$l$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点 $P , Q$. 证明:直线 $A_1P$ 与 $A_2Q$ 的交点在一条定直线上.

题目

( 2019 年 1 月晋中市高考适应性调研考试理科第 21 题 )
已知函数$f\left( x \right)=\dfrac{a}{2}\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^x-a,\left( a\in \mathbf{R} \right)$.

1. 讨论函数 $f\left(x\right)$ 的单调性；
2. 若函数$g\left( x \right)=x\ln x-f\left( \ln x \right)$有两个不同的极值点$x_1,x_2$,证明:$x_1\cdot x_2 > \mathrm{e}^2$.

题目

( 2018 年 11 月金太阳百校联考理科第 21 题 )
已知函数 $f(x)=ae^x-x+1$ 有两个零点 $x_1,x_2$.

1. 求 $a$ 的取值范围;
2. 设 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点，证明: $x_1+x_2<2x_0$.

题目

( $ 2018 $ 年山西省晋商四校 $ 10 $ 月月考文科第 $ 12 $ 题 )

已知函数 $ f\left(x\right)=\mathrm{e}^x-ex $ ， $ g\left( x \right)=\ln\left( 2ax+\mathrm{e}+1 \right) $ ,若存在 $ x_0\in\left( 0,1 \right) $ ，使得 $ f\left( x_0 \right)=g\left( x_0 \right) $ 成立，则 $ a $ 的取值范围

$ (A).\left( -\dfrac{\mathrm{e}+1}{2},-\dfrac{\mathrm{e}}{2} \right) \\\ $
$ (B).\left( -\dfrac{\mathrm{e}+1}{2},\mathrm{e} \right) \\\\$
$ (C).\left( -\infty,-\dfrac{\mathrm{e}}{2}\right) \\\ $
$ (D). \left( -\mathrm{e},-1\right) $

题目

已知 $ m=\dfrac{\tan\left( \alpha+\beta+\gamma \right)}{\tan\left( \alpha-\beta+\gamma \right)} $ ，若 $ \sin2\left( \alpha+\gamma \right)=3\sin2\beta $ ，求 $ m $.

题目

（ 介休一中 $2018$ 年高三 $9$ 月月考理科第 $21$ 题 ）
已知函数 $f\left( x \right)=a\ln x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x^2}$ ， $a\in \mathbb{R}$.

1. 讨论函数 $f\left(x\right)$ 的单调性;
2. 证明: $\left( x-1 \right)\left( \mathrm{e}^{-x}-x \right)+2\ln x<\dfrac{2}{3}$.

题目

（$2013$ 年高考湖北理科第 $10$ 题） 　
已知 $a$ 为常数,函数 $f(x)=x(\ln x-ax)$ 有两个极值点$x_1,x_2(x_1 < x_2)$,则
$(A).f(x_1) > 0,f(x_2) > -\dfrac 12\quad$
$(B).f(x_1) < 0,f(x_2) < -\dfrac 12$
$(C).f(x_1) > 0,f(x_2) < -\dfrac 12\quad$
$ (D).f(x_1) < 0,f(x_2) > -\dfrac 12$

题目

已知 $a_1=20$，$5a_{n+1}=4a_n^2+20a_n$，求 $a_n$.