题目

( 2026武汉三调第14题 )

如图,已知 $\omega>0$ ,在函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 的部分图象中,其图象上的点 $A, B, C$ 是同一直线上的三点,且该直线与 $x$ 轴交于点 $D$,若 $|A D|=|D B|$ $=|B C|=1$ ,则 $\omega= $____.

解析

不妨设 $\varphi=0$ ,则 $f(x)=\sin \omega x(\omega>0)$.
设 $A(x_0, y_0), f(x)$ 周期为 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$,如图
$$
B(x_0+\dfrac{T}{2},-y_0) , C(x_0+\dfrac{3}{4}T,-2 y_0)
$$

因为点$A,C$在$f(x)=\sin \omega x$上,所以
$$
\left\{
\begin{array}{l}
y_0=\sin \omega x_0 \\
-2 y_0=\sin \omega(x_0+\dfrac{3T}{4})=\sin (\omega x_0+\dfrac{3 \pi}{2})=-\cos \omega x_0
\end{array}\right.
$$
由$ \sin ^2 w x_0+\cos ^2 w x_0=1$ 得 $5 y_0^2=1$,
所以 $$y_0^2=\dfrac{1}{5}.$$
又因为
$$|A B|^2=\dfrac{T^2}{4}+4 y_0^2=4,$$
所以 $$\dfrac{T^2}{4}+\dfrac{4}{5}=4$$
所以 $$T=\dfrac{8}{\sqrt{5}}=\dfrac{2 \pi}{\omega}$$
所以 $\omega=\dfrac{\sqrt{5}}{4} \pi$.