2025年新高考1卷单选压轴题解析

题目

( 2025年新高考1卷第$8$题 )

已知$2+\log_2 x = 3 + \log_3 y = 5 + \log_5 z，$则 $x, y, z$ 的大小关系不可能为
(A).$x > y > z$
(B).$x > z > y$
(C).$y > x > z$
(D).$y > z > x$

解析一

等式$2+\log_2 x = 3 + \log_3 y = 5 + \log_5 z$ 减去$5$,并令
$$\log _2 x-3=\log _3 y-2=\log _5 z=t,$$
则
$$
\begin{aligned}
x=&2^{t+3}=8\cdot 2^t,\\
y=&3^{t+2}=9\cdot 3^t, \\
z=&5^t,
\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
x > y&\iff 8\cdot 2^t > 9\cdot3^t\iff t < \log_{\frac{3}{2}}\frac{8}{9}=a < 0,\\\\
x > z&\iff 8\cdot 2^t > 5^t\iff t < \log_{\frac{5}{2}}8=b < 3,\\\
y > z&\iff 9\cdot 3^t > 5^t\iff t < \log_{\frac{5}{3}}9=c > 3,
\end{aligned}
$$
注意到$a < b < c$,所以

$x$	$(-\infty, a)$	$(a, b)$	$(b, c)$	$(c,+\infty)$
$x,y$ 大小关系	$x > y$	$x < y$	$x < y$	$x < y$
$x,z$ 大小关系	$x > z$	$x > z$	$x < z$	$x < z$
$y,z$ 大小关系	$y > z$	$y > z$	$y > z$	$y < z$
$x,y,z$ 大小关系	$x > y > z$	$y > x > z$	$y > z > x$	$z > y > x$

所以选项$(B)$不可能,故选(B).

解法二

在$2+\log_2 x = 3 + \log_3 y = 5 + \log_5 z$中

• 令$x=1$ ，则 $y=\frac{1}{3}, z=\frac{1}{125}$ ，得 $x > y > z$．
• 令$x=8$ ，则 $y=9, z=1$ ，得 $y > x > z$ .
• 令$x=64$ ，则 $y=243, z=125$ ，得 $y > z > x$ .
  故选 (B)．