题目
( 2025年深圳市高三年级第一次第一次调研考试第$19$题 )
已知无穷数列 $\{a_n\}$ 满足,$a_1, a_2$ 为正整数,$a_n=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|$,$n \in \mathbb{N}^*$ ．
- 若 $a_1=1, a_3=2$ ，求 $a_4$ ；
- 证明：＂存在 $k \in \mathbb{N}^*$ ，使得 $a_k=0$＂是＂$\{a_n\}$ 是周期为 3 的数列＂的必要不充分条件；
- 若 $a_1 \neq a_2$ ，是否存在数列 $\{a_n\}$ ，使得 $a_n<2025$ 恒成立？若存在，求出一组 $a_1, a_2$的值；若不存在，请说明理由．
解析
- 因为 $a_n=|a_{n+1}-a_{n+2}|$ 对任意 $n \in \mathbb{N}^+$ 成立；
当$n=1$时，$a_1=|a_2-a_3|$，所以 $1=|a_2-2|$,所以 $a_2=1$ 或 3 ，- 若 $a_2=1$ ，由 $a_2=|a_3-a_4|$ ，则 $1=|2-a_4|$ ，则 $a_4=1$ 或 3 ，
- 若 $a_2=3$ ，由 $a_2=|a_3-a_4|$ ，则 $3=|2-a_4|$ ，则 $a_4=-1$ 或 5 ，因为 $a_4=|a_5-a_6|>0$ ，
综上所述：$a_4=1$ 或 3 或5．
- （必要性）因为 $\left\{a_n\right\}$ 周期为 3 ，则
$$a_4=a_1, a_5=a_2$$
由 $a_n=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|$ 得
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_1=\left|a_2-a_3\right| \\
a_2=\left|a_3-a_4\right| \\
a_3=\left|a_4-a_5\right|
\end{array}\right.
$$
所以
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_1=\left|a_2-a_3\right| \\
a_2=\left|a_3-a_1\right| \\
a_3=\left|a_1-a_2\right|
\end{array}\right.
$$
由对称性，取 $a_1=\min \left\{a_1, a_2, a_3\right\}$ ，则
$$
\begin{aligned}
& a_2=\left|a_3-a_1\right|=a_3-a_1 \\
& a_3=\left|a_1-a_2\right|=a_2-a_1
\end{aligned}
$$
两式相加得
$$a_2+a_3=a_3+a_2-2 a_1$$
所以 $a_1=0$ ，即 $\min \left\{a_1, a_2,a_3\right\}=0$.
注意到 $a_1>0, a_2>0$ ,必有 $a_3=0$ ,此时 $a_1=a_2$.
数列 $\{a_n\}$为 $a_1, a_1, 0, a_1, a_1, 0 ,\ldots$
所以 $\left\{a_n\right\}$ 是周期为 3 的数列时，$\exists k=3,$ 使 $a_3=0$.
(不充分性) 取数列$\left\{a_n\right\}:$
$$ 1,1,0,1,1,2,3,5, \cdots$$
其中当 $n \geqslant 3$ 时，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ ，
此时数列 $\left\{a_n\right\}$ 不是周期数列.
综上，＂存在 $k \in \mathbb{N}^+$ ，使得 $a_k=0$＂是＂$\left\{a_n\right\}$ 是周期为 3 的周期数列＂的必要不充分条件. 先证明: 对$\forall n \in \mathbb{N}^+$ ，有$a_n\neq 0$.
假设$\exists k\in \mathbb{N}^+$,使得$a_k=0$.由 $a_{k}=|a_{k+1}-a_{k+2}|=0$ 得
$$a_{k+2}=a_{k+1}=x$$所以
$$\begin{aligned}
a_{k-1}&=\left|a_{k}-a_{k+1}\right|=x,\\
a_{k-2}&=\left|a_{k-1}-a_{k+1}\right|=x, \\
a_{k-3}&=\left|a_{k-2}-a_{k-1}\right|=0,\\
&\cdots
\end{aligned}$$
依此类推得前 $k$ 项为
$$\cdots, x, 0, x, x, 0, x, x, 0$$
则 $a_1, a_2$ 要么相等，要么至少有一项为 0，矛盾.
因此 $a_n \neq 0$.
由题设，$a_n\in \mathbb N $,所以 $a_n \geqslant 1$.
再证明: 对 $\forall n\in\mathbb{N^+}$，有 $a_n < \max \{ a_{n+1}, a_{n+2} \}$.- 当$a_{n+1} > a_{n+2}$时，因为$a_n\geqslant 1$
$$a_n=|a_{n+1}-a_{n+2}|=a_{n+1}-a_{n+2} < a_{n+1}\leqslant\max\{a_{n+1},a_{n+2}\}$$ - 当$a_{n+1} < a_{n+2}$时，因为$a_n\geqslant 1$
$$a_n=|a_{n+1}-a_{n+2}|=a_{n+2}-a_{n+1} < a_{n+2}\leqslant\max\{a_{n+1},a_{n+2}\}$$
所以对$\forall n\in \mathbb{N}^+ $,有$a_n < \max \{ a_{n+1},a_{n+2} \}$.
取$a_k=\max\{a_{n+1},a_{n+2}\}$,所以$\exists k > n$,使得$a_k > a_n$.
注意到 $a_n \in \mathbb N^{+}$，故 $\exists k > n$ ，使 $a_k \geqslant a_n+1$ ．
取数列$\{a_n\}$的无穷子列$\{a_{k_n}\}$ ，
$$
a_{k_1}, a_{k_2}, a_{k_3}, \cdots
$$
其中 $a_{k_1}=a_1, a_{k_{n+1}}=\max \left\{a_{k_n+1}, a_{k_n+2}\right\}$
则 $\left\{a_{k_n}\right\}$ 单调递增，且 $a_{k_{n+1}} \geqslant a_{k_n}+1$,
故必存在 $a_{k_ n}>2025$ ．
所以不存在数列 $\{a_n\}$ ，使得 $a_n < 2025$ 恒成立.
- 当$a_{n+1} > a_{n+2}$时，因为$a_n\geqslant 1$