2025年八省联考单选压轴题解析

赵晚龙 发表于 |

题目

( 2025年八省联考第$8$题 )
已知函数 $f(x)=x|x-a|-2 a^2$ ．若当 $x>2$ 时，$f(x)>0$，则 $a$ 的取值范围是
A．$(-\infty, 1]$
B．$[-2,1]$
C．$[-1,2]$
D．$[-1,+\infty)$

解析

  1. 当 $a > 2$ 时，$f(a)=-2 a^2<0$, 与$f(a)="">0$ 矛盾.
  2. 当 $a \leqslant 2$ 时，注意到 $x > 2 \geqslant a$ ，所以 $x > 2$ 时
    $$
    \begin{aligned}
    f(x)&=x|x-a|-2 a^2\\
    &=x(x-a)-2 a^2\\
    &=x^2-a x-2 a^2
    \end{aligned}
    $$
    由于 $y=x^2-a x-2 a^2$ 对称轴 $x=\dfrac{a}{2} \leqslant 1$ 且开口向上,
    故 $f(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 递增，
    所以$x > 2$ 时, $f(x)>0$,只需
    $$ f(2)=4-2 a-2 a^2 \geqslant 0$$
    解得 $a \in[-2,1]$.
    故选$B$.