题目

( 2024年晋中市高三5月高考适应考试第$14$题 )
已知函数 $f(\theta)=|a \cos \theta+b \sin \theta|+|a \sin \theta-b \cos \theta|$ 的最大值为 $4 \sqrt{2}$, 则满足条件 $b>\mathrm{e}^a$ 的整数 $a$ 的个数为 $\underline{\hspace{2cm}} $.

解析

记 $x=a \cos \theta+b \sin \theta,y=a \sin \theta-b \cos \theta$,则
$$
\begin{aligned}
x^2+y^2= (a \cos \theta+b \sin \theta)^2+(a \sin \theta-b \cos \theta)^2
=a^2+b^2
\end{aligned}
$$
由$ \dfrac{|x|+|y|}{2} \leqslant \sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}$得
$$
\begin{aligned}
f(\theta)=|x|+|y|
\leqslant \sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2+y^2}
=\sqrt{2} \cdot \sqrt{a^2+b^2}=4\sqrt{2}
\end{aligned}
$$
所以
$$
\begin{aligned}
a^2+b^2=16
\end{aligned}
$$
当且仅当 $|a \cos \theta+b \sin \theta|=|a \sin \theta-b \cos \theta|$即 $\tan \theta=\dfrac{a+b}{a-b}$ 或 $\tan \theta=\dfrac{b-a}{a+b} $取等号.
因为$a\in \mathbb{Z}$,由$a^2+b^2=16$得
$$a \in\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$$
由$a^2+b^2=16$及$b > e^a > 0$得,
$$
b=\sqrt{16-a^2} > e^{a}
$$
经检验
$$a \in\{-3,-2,-1,0,1\}$$
整数 $a$ 的个数为共有 $5$ 个.

注解

也可以考虑点$(a,b)$围成的平面区域$ \left\{\begin{array}{l} a^2+b^2=16, \\\ b>e^a,\\\ a\in\mathbb{Z} \end{array} \right. $中点的个数.