题目

( 山西省卓越联盟2023年3月联考第$14$题 )

锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A$ 的对边为 $a$, 若 $\triangle A B C$ 的面积是 $a^2$, 则 $\dfrac{\sin A}{\cos B \cos C}$ 的最小值是$\underline{\hspace{2cm}} $.

解析

由题设 $\triangle A B C$ 面积
$$S=\dfrac{1}{2} b c \sin A=a^2.$$
所以
$$b c \sin A=2 a^2.$$
由射影定理 $b \cos C+c \cos B=a$ 及 $B, C \in(0, \dfrac{\pi}{2})$,
所以
$$
\begin{aligned}
\dfrac{\sin A}{\cos B \cos C} & =\frac{b c \sin A}{b c \cos B \cos C} \\
& =\dfrac{2 a^2}{(b \cos C) \cdot(c \cos B)} \\
& \geqslant \dfrac{2 a^2}{(\frac{b \cos C+c \cdot \cos B}{2})^2} \\
& =\frac{2 a^2}{\frac{a^2}{4}} \\
& =8
\end{aligned}
$$
当且仅当 $b \cos C=C \cos B$ 即 $B=C$ 取“$=$”，此时 $\triangle A B C$ 为锐角三角形.
综上，$\dfrac{\sin A}{\cos B \cos C}$ 的最小值是$8$.