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周长的最小值

题目

m,n为大于零的常数,过点P(m,n)作直线l,分别交x轴,y轴正半轴于A,B两点, 求OAB周长的最小值.

解法一

如图,设BAP=θ,且θ(0,π2),故tanθ2(0,1).

20231128-1

如图OAB的周长
OA+OB+OC=(m+ntanθ)+(n+mtanθ)+(mcosθ+nsinθ) =m×1+sinθcosθ+n×1+cosθsinθ+m+n =m×(sinθ2+cosθ2)2cos2θ2sinθ2+n×2cosθ22sinθ2cosθ2+m+n =m×cosθ2+sinθ2cosθ2sinθ2+n×1tanθ2+m+n =m×1+tanθ21tanθ2+ntanθ2+m+n =(2m)21tanθ2+(n)2tanθ2+n (2m+n)2(1tanθ2)+tanθ2+n =2(m+n+2mn)
当且仅当 2m1tanθ2=ntanθ2tanθ2=n2m+n取等号.
所以 AOB 周长最小值为 2m+2n+22mn.

解法二

20231128-2

如上图,取过P的直线A1B1,使得OA1B1的旁切圆J恰好与A1B1相切于点P,此时OA1B1周长为OAB周长的最小值.证明如下.
取过P的直线AB,如图作与AB平行的圆J的切线MN,由切线长定理,有
OAB周长OMN周长=OA1B1周长=OL+OK=J直径.


设圆J的方程为(xr)2+(yr)2=r2(r>0),将P(m,n)代入得(mr)2+(nr)2=r2
解得r=m+n+2mnr=m+n2mn(舍).
综上,OAB周长的最小值为 2m+2n+22mn.