题目
若m,n为大于零的常数,过点P(m,n)作直线l,分别交x轴,y轴正半轴于A,B两点, 求△OAB周长的最小值.
解法一
如图,设∠BAP=θ,且θ∈(0,π2),故tanθ2∈(0,1).
如图△OAB的周长
OA+OB+OC=(m+ntanθ)+(n+mtanθ)+(mcosθ+nsinθ) =m×1+sinθcosθ+n×1+cosθsinθ+m+n =m×(sinθ2+cosθ2)2cos2θ2−sinθ2+n×2cosθ22sinθ2cosθ2+m+n =m×cosθ2+sinθ2cosθ2−sinθ2+n×1tanθ2+m+n =m×1+tanθ21−tanθ2+ntanθ2+m+n =(√2m)21−tanθ2+(√n)2tanθ2+n ⩾(√2m+√n)2(1−tanθ2)+tanθ2+n =2(m+n+√2mn)
当且仅当 √2m1−tanθ2=√ntanθ2 即tanθ2=√n√2m+√n取等号.
所以 △AOB 周长最小值为 2m+2n+2√2mn.
解法二
如上图,取过P的直线A1B1,使得△OA1B1的旁切圆J恰好与A1B1相切于点P,此时△OA1B1周长为△OAB周长的最小值.证明如下.
取过P的直线AB,如图作与AB平行的圆J的切线MN,由切线长定理,有
△OAB周长⩾△OMN周长=△OA1B1周长=OL+OK=圆J直径.
设圆J的方程为(x−r)2+(y−r)2=r2(r>0),将P(m,n)代入得(m−r)2+(n−r)2=r2
解得r=m+n+√2mn或r=m+n−√2mn(舍).
综上,△OAB周长的最小值为 2m+2n+2√2mn.