数列问题中的奇偶讨论

赵晚龙 发表于 | 分类于 |

题目

( 2023年新高考2卷第$18$题 )

已知 $\{a_n\}$ 为等差数列, $b_n=\begin{cases}a_n-6, & n \text{为奇数,} \\\ 2 a_n, & n \text {为偶数.}\end{cases}\quad $ 记 $S_n, T_n$ 分别为数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的前$n$项和,$S_4=32, T_3=16$.

  1. 求$\{a_n\}$的通项公式;
  2. 证明: 当$n>5$时,$T_n>S_n$.

解析

  1. 设 $\{a_n\}$ 的公差 $d$, 由题设得$$\left\{\begin{array}{l}S_4=4 a_1+6 d=32, \\\ T_3=b_1+b_2+b_3=4 a_1+4 d-12=16\end{array}\right.$$ 解得 $a_1=5, d=2$.
    所以 $a_n=5+2(n-1)=3+2 n$.
  2. 由题意
    $$\begin{aligned}
    T_{2 n} & =（b_1+b_3+\cdots+b_{2 n-1}）+(b_2+b_4+\cdots+b_{2 n}) \\\\
    & =(a_1+a_3+\cdots+a_{2 n-1}-6 n)+(2 a_2+2 a_4+\cdots+2 a_{2 n}) \\\\
    & =S_{2 n}+a_2+a_4+\cdots+a_{2 n}-6 n\\\\
    &=S_{2 n}+2 n^2-n . \\\\
    T_{2 n+1} &= T_{2 n}+b_{2 n+1}=(S_{2 n}+2 n^2-n)+(a_{2 n+1}-6)\\\\
    &=S_{2 n+1}+2 n^2-n-6 .
    \end{aligned}
    $$
    • 当 $n \geqslant 1$ 时, $$T_{2 n}-S_{2 n}=2 n^2-n>0,$$故 $T_{2 n}>S_{2 n}$;
    • 当$n>2$时, $$T_{2 n+1}-S_{2 n+1}=2 n^2-n-6>0,$$ 故 $T_{2 n+1}>S_{2 n+1}$.
      综上, 当 $n>5$ 时, $T_n>S_n$.