题目
(2023年新高考1卷第$20$题 )
设等差数列$\left\{a_n\right\}$的公差为$d$, 且$d>1$. 令$b_n=\dfrac{n^2+n}{a_n}$, 记$S_n, T_n$分别为数列$\left\{a_n\right\}$,$\left\{b_n\right\}$的前$n$项和.
- 若$3 a_2=3 a_1+a_3, S_3+T_3=21$, 求$\left\{a_n\right\}$的通项公式;
- 若$\left\{b_n\right\}$为等差数列, 且$S_{99}-T_{99}=99$, 求$d$.
分析
- 将题式转化为$a_1$和$d$的方程组，解方程求解.
- 若一个数列是等差数列，前三项必然是等差数列，从而求解参数的值.
解析
- 由题设$\{a_n\}$为等差数列且 $3 a_2=3 a_1+a_3$, 可知 $$3 a_1+3 d=3 a_1+a_1+2 d,$$解得 $a_1=d$,所以 $a_n=nd$.从而 $$
\begin{aligned}
T_3=& \frac{2}{a_1}+\frac{6}{a_2}+\frac{12}{a_3}=\frac{2}{d}+\frac{6}{2 d}+\frac{12}{3 d}=\frac{9}{d},\\
S_3=&d+2 d+3 d=6 d.
\end{aligned}$$
由$S_3+T_3=21$得$6 d+\dfrac{9}{d}=21$, 解得$d=\dfrac{1}{2}$(舍去)或$d=3$.
因此, $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=3 n$. - 由题设,等差数列$\{\dfrac{n^2+n}{a_n}\}$前$3$项为$\dfrac{2}{a_1},\dfrac{6}{a_2},\dfrac{12}{a_3}$,由等差中项得
$$\dfrac{6}{a_2}=\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{6}{a_3},$$
又数列$\left\{a_n\right\}$为等差数列, 故
$$\frac{6}{a_1+d}=\frac{1}{a_1}+\frac{6}{a_1+2 d},$$
解得 $a_1=d$ 或 $a_1=2 d$.- 当$a_1=d$时,$a_n=nd,b_n=\dfrac{1}d(n+1)$,从而$$S_n=\frac{n(n+1) d}{2}, T_n=\frac{n(n+3)}{2 d},$$
从而
$$S_{99}-T_{99}=\frac{99 \times 100 d}{2}-\frac{99 \times 102}{2 d}=99,$$
解得 $d=-1$ (舍去) 或 $d=\dfrac{51}{50}$. - 当 $a_1=2 d$ 时, $a_n=(n+1)d,b_n=\dfrac{1}dn$ ,从而$$S_n=\frac{n(n+3) d}{2}, T_n=\frac{n(n+1)}{2 d},$$
从而
$$S_{99}-T_{99}=\frac{99 \times 102 d}{2}-\frac{99 \times 100}{2 d}=99,$$
解得 $d=1$ 或 $d=-\dfrac{50}{51}$. 又 $d>1$, 与题设不符.
综上所述$d=\dfrac{51}{50}$.
- 当$a_1=d$时,$a_n=nd,b_n=\dfrac{1}d(n+1)$,从而$$S_n=\frac{n(n+1) d}{2}, T_n=\frac{n(n+3)}{2 d},$$