题目
( 2023年高考全国乙卷第$20$题 )
已知椭圆$C: \dfrac{y^{2}}{a^{2}}+\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率为$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, 点$A(-2,0)$在$C$上.
- 求$C$的方程;
- 过点$(-2,3)$的直线交$C$于$P, Q$两点, 直线$A P, A Q$与$y$轴的交点分别为$M, N$, 证明：线段$M N$的中点为定点.
解析
- 由题意得$b=2, \dfrac ca=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, 解得 $a^2=9$.
所以 $C$ 的方程为 $\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{x^2}{4}=1$. - 设$P(x_1, y_1), M(0, y_M)$, $Q(x_2, y_2), N(0, y_N)$.
则直线$A P: y=\dfrac{y_1}{x_1+2}(x+2)$,令$x=0$得 $$y_M=\dfrac{2 y_1}{x_1+2}$$
同理可得 $$y_N=\dfrac{2 y_2}{x_2+2}$$
设直线 $P Q: y=k(x+2)+3, M N$ 的中点 $T(0, y_0)$, 则
$$y_0=\dfrac{y_M+y_N}{2}=\dfrac{k(x_1+2)+3}{x_1+2}+\dfrac{k(x_2+2)+3}{x_2+2}=2 k+3(\dfrac{1}{x_1+2}+\dfrac{1}{x_1+2}) .$$
由$\left\{\begin{array}{l}y=k(x+2)+3 \\\ \dfrac{y^2}{9}+\dfrac{x^2}{4}=1\end{array}\right.$ 得
$$(4 k^2+9)(x+2)^2+12(2 k-3)(x+2)+36=0,$$
注意到$x+2\neq 0$,两边同除以$(x+2)^2$得
$$36(\dfrac{1}{x+2})^2+12(2 k-3)\dfrac{1}{x+2}+(4 k^2+9)=0,$$
故
$$\dfrac{1}{x_1+2}+\dfrac{1}{x_2+2}=\dfrac{12(3-2 k)}{36}=1-\dfrac{2k}{3} $$
所以 $$y_0=2 k+3(1-\dfrac{2k}{3})=3.$$
因此线段 $M N$ 的中点为定点 $(0,3)$.