恒成立与极值点

题目

( 介休一中2023年9月第二次数学联考第21题 )
已知函数f(x)=axlnx2x+3, 其中 a>0.

  1. a=1 时, 求 f(x) 的最小值;
  2. e1xf(x) 对任意的 x(0,+) 恒成立, 求实数 a 的取值范围.

解析

  1. f(x)=xlnx2x+3,则f(x)=lnx1,
  2. g(x)=f(x)e1x=axlnx2x+3e1x,
    由题意 x>0时,g(x)0,因为g(1)=0,所以g(x)g(1)x>0恒成立,
    从而x=1g(x)的最小值点,也为它的极小值点,所以g(1)=0.
    因为g(x)=a(lnx+1)2+e1x,
    所以g(1)=a2+1=a1=0,所以a=1.
    下面证明a=1g(x)0.
    a=1时,g(x)=xlnx2x+3e1x, g(x)=lnx1+e1x,所以g(x)=1xe1x=1x1ex1=ex1xxex1

    h(x)=ex1x,当x(0,+)时,h(x)=ex11>0,h(x)递增,
    所以x>0时,h(x)>0,即ex1>x.
    从而x(0,+)时,g(x)>0,g(x)递增,又g(1)=0,
    所以x(0,1),g(x)<0,g(x)递减, x(1,+),g(x)<0,g(x)递增.
    所以x>0时,g(x)g(1)=0成立.
    综上a=1.