题目
( 介休一中2023年9月第二次数学联考第21题 )
已知函数f(x)=axlnx−2x+3, 其中 a>0.
- 当a=1 时, 求 f(x) 的最小值;
- 若e1−x⩽f(x) 对任意的 x∈(0,+∞) 恒成立, 求实数 a 的取值范围.
解析
- f(x)=xlnx−2x+3,则f′(x)=lnx−1,
- 令 g(x)=f(x)−e1−x=axlnx−2x+3−e1−x,
由题意 x>0时,g(x)⩾0,因为g(1)=0,所以g(x)⩾g(1)对x>0恒成立,
从而x=1为g(x)的最小值点,也为它的极小值点,所以g′(1)=0.
因为g′(x)=a(lnx+1)−2+e1−x,
所以g′(1)=a−2+1=a−1=0,所以a=1.
下面证明a=1的 g(x)⩾0.
当a=1时,g(x)=xlnx−2x+3−e1−x, g′(x)=lnx−1+e1−x,所以g′′(x)=1x−e1−x=1x−1ex−1=ex−1−xxex−1
令h(x)=ex−1−x,当x∈(0,+∞)时,h′(x)=ex−1−1>0,h(x)递增,
所以x>0时,h(x)>0,即ex−1>x.
从而x∈(0,+∞)时,g′′(x)>0,g′(x)递增,又g′(1)=0,
所以x∈(0,1),g′(x)<0,g(x)递减, x∈(1,+∞),g′(x)<0,g(x)递增.
所以x>0时,g(x)⩾g(1)=0成立.
综上a=1.