恒成立与极值点

题目

( 介休一中2023年9月第二次数学联考第$21$题 )
已知函数$f(x)=a x \ln x-2 x+3$, 其中 $a>0$.

1. 当$a=1$ 时, 求 $f(x)$ 的最小值;
2. 若$\mathrm{e}^{1-x} \leqslant f(x)$ 对任意的 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围.

解析

1. $f(x)= x\ln x -2x+3$,则$f’(x)=\ln x -1$,
2. 令 $g(x)=f(x)-e^{1-x}=a x \ln x-2 x+3-e^{1-x}$,
   由题意 $x>0$时，$g(x) \geqslant 0$,因为$g(1)=0$,所以$g(x) \geqslant g(1)$对$x>0$恒成立,
   从而$x=1$为$g(x)$的最小值点，也为它的极小值点,所以$g^{\prime}(1)=0.$
   因为$g^{\prime}(x)=a(\ln x+1)-2+e^{1-x}$,
   所以$g^{\prime}(1)=a-2+1=a-1=0$,所以$a=1$.
   下面证明$a=1$的 $g(x) \geqslant 0$.
   当$a=1$时,$g(x)=x \ln x-2 x+3-e^{1-x}$, $g^{\prime}(x)=\ln x-1+e^{1-x}$,所以 $$g^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{x}-e^{1-x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x-1}}=\frac{e^{x-1}-x}{x e^{x-1}}$$
   令$h(x)=e^{x-1}-x$,当$x\in(0,+\infty)$时,$h’(x)=e^{x-1}-1>0$,$h(x)$递增，
   所以$x>0$时，$h(x) > 0$，即$e^{x-1}> x$.
   从而$x\in(0,+\infty)$时，$g^{\prime \prime}(x) > 0,g^{\prime}(x)$递增,又$g^{\prime}(1)=0$,
   所以$x\in (0,1),g’(x) < 0,g(x)$递减, $x\in (1,+\infty),g’(x) < 0,g(x)$递增.
   所以$x>0$时，$g(x)\geqslant g(1)=0$成立.
   综上$a=1$.