题目
( 晋中市2020年10月高三考试理科压轴题 )已知函数 $ f(x)=\left(2 x^{2}-4 x+4\right) \mathrm{e}^{x}-a x^{2}-\mathrm{e}(a \in \mathbb{R}) $
1. 若曲线 $ y=f(x) $ 在点 $ (1, f(1)) $ 处的切线 $ l $ 过点 $ (0,1-\mathrm{e}), $ 求实数 $ a $ 的值 $ ; $
2. 当 $ a > 0 $ 时,若函数 $ f(x) $ 有且仅有 $3$ 个零点,求实数 $ a $ 的取值范围.
解析
- $ f(x) $ 的导函数为
$$
f^{\prime}(x)=2 x^{2} \mathrm{e}^{x}-2 a x=2 x\left(x \mathrm{e}^{x}-a\right),
$$
所以
$$
f^{\prime}(1)=2(\mathrm{e}-a), f(1)=2 \mathrm{e}-a-\mathrm{e}=\mathrm{e}-a
$$
可得切线 $ l $ 的方程为
$$
y-(\mathrm{e}-a)=2(\mathrm{e}-a)(x-1),
$$
整理为
$$
y=2(\mathrm{e}-a) x+a-\mathrm{e},
$$
代入点 $ (0,1-\mathrm{e}), $ 有
$$
1-\mathrm{e}=a-\mathrm{e},
$$
解得 $ a=1 $ ,故实数 $ a $ 的值为 $ 1 . $ - 当 $ x < 0 $ 时,由 $ a > 0, $ 有 $ x \mathrm{e}^{x}-a < 0, $ 可得 $ f^{\prime}(x) > 0 ; $
当 $ x \geqslant 0 $ 时,令 $ g(x)=x \mathrm{e}^{x}-a(x \geqslant 0), $ 有
$$
g^{\prime}(x)=(x+1) \mathrm{e}^{x} > 0,
$$
可得函数 $ g(x) $ 为增函数,又由 $ a > 0 $ 可得
$$
g(0)=-a < 0, g(a)=a(e^a-1) > 0
$$
所以 $ g(x) $ 在 $ (0,+\infty) $ 有唯一的零点 $ x_0 $ ,且 $ a=x_0\mathrm{e}^{x_0},0 < x_0 < a $ .
当 $ 0 < x < x_0 $ 时 , $ g(x) < 0, $ 此时 $ f^{\prime}(x) < 0 $ ;
当 $ x > x_0 $ 时, $ g(x) > 0, $ 此时 $ f^{\prime}(x) > 0 $ .
由上知, 函数 $ f(x) $ 的增区间为 $ (-\infty, 0),(x_0,+\infty) $ ,减区间为 $ (0, x_0) . $
若函数 $ f(x) $ 有且仅有 3 个零点,必有
$$
f(x_0)=\left(2 x_0^{2}-4 x_0+4\right) \mathrm{e}^{x_0}-a x_0^{2}-\mathrm{e} < 0
$$
将 $ a=x_0\mathrm{e}^{x_0} $ 代入得
$$
\begin{aligned}
f(x_0)=&\left(2 x_0^{2}-4 x_0+4\right) \mathrm{e}^{x_0}-x_0^{3} \mathrm{e}^{x_0}-\mathrm{e}\\
=&\left(-x_0^{3}+2 x_0^{2}-4 x_0+4\right) \mathrm{e}^{x_0}-\mathrm{e} < 0
\end{aligned}
$$
令 $ h(x)=\left(-x^{3}+2 x^{2}-4 x+4\right) \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}(x > 0), $ 有
$$
h^{\prime}(x)=-\left(x^{3}+x^{2}\right) \mathrm{e}^{x} < 0,
$$
故函数 $ h(x) $ 为减 函数，又由 $ h(1)=\mathrm{e}-\mathrm{e}=0, $ 可得
$$
f(x_0) < 0\Longleftrightarrow h(x_0)<0 \longleftrightarrow="" x_0=""> 1,
$$
所以
$$
a=x_0 \mathrm{e}^{x_0} > \mathrm{e}.
$$
下面证明 $ a > \mathrm{e} $ 时， $ f(x) $ 有三个零点.
当 $ a > \mathrm{e} $ 时,
$$
f(-1)=\dfrac{10}{\mathrm{e}}-a-e < \dfrac{10}{2}-\mathrm{e}-\mathrm{e} < 0,
$$
取 $ x =a > x_0 $ 可得
$$
\begin{aligned}
f(a)= & \left(2 a^{2}-4 a+4\right) \mathrm{e}^{a}-a^{3}-\mathrm{e}\\\\
= &\left( a^{2}+(a-2) ^2\right) \mathrm{e}^{a}-a^{3}-\mathrm{e}\\\\
\geqslant & a^2 \mathrm{e}^{a}-a^{3}-\mathrm{e}\\\ \geqslant & a^2 (a+1)-a^{3}-\mathrm{e}\qquad (\because e^a\geqslant a+1)\\\ = & a^2-\mathrm{e} > e^2-e > 0
\end{aligned}
$$
又
$$
f(0)=4-\mathrm e > 0,f(x_0) < 0,
$$
结合 $ f(x) $ 单调性和零点存在定理可得 $ f(x) $ 在 $ (-\infty,0),(0,x_0),(x_0,+\infty) $ 各有一个零点.
综上，实数 $ a $ 的取值范围为 $ (\mathrm{e},+\infty) . $