收敛速度

题目

已知数列 $ \{b_n\} $ 的通项公式为 $ b_n=\dfrac{n}{2^n} $ ，是否存在正整数 $ p,q,r\left( p < q < r \right) $ ，使得 $ b_p,b_q,b_r $ 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的 $ p,q,r $ ；若不存在，请说明理由.

解析

由题意
$$
2 b_q=b_p+b_r
$$
所以
$$
\dfrac{b_p}{b_q}+\dfrac{b_r}{b_q}=2
$$
由 $ b_n > 0 $ 得
$$
\dfrac{b_p}{b_q} < 2
$$
当 $ n\geqslant 2 $ 时
$$
\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{n+1}{2^{n+1}} \times \frac{2^{n}}{n}=\frac{n+1}{2n}=\frac{n+1}{n+n} \leqslant 1
$$
所以 $ n\geqslant2 $ 时，数列 $ \{b_n\} $ 单调递减.

1. 当 $ p\geqslant2 $ 时 ,$ b_p $ 和 $ b_q $ 必为相邻两项，若不然，则 $ q\geqslant p+2 $ ,此时
   $$
   b_q\leqslant b_{p+2}
   $$
   从而有
   $$
   \frac{b_p}{b_q}\geqslant\frac{b_p}{b_{p+2}}=\frac{p}{2^{p}} \cdot \frac{2^{p+2}}{p+2}=\frac{4 p}{p+2}=2 \cdot \frac{p+p}{p+2} \geqslant 2
   $$
   与 $ \dfrac{b_p}{b_q} < 2 $ 矛盾，所以 $ b_p $ 与 $ b_q $ 为相邻项,故
   $$
   2 b_{p+1}=b_p+b_r
   $$
   即
   $$
   \frac{2(p+1)}{2^{p+1}}=\frac{p}{2^{p}}+\frac{r}{2}
   $$
   即 $ \dfrac{1}{2^p}=\dfrac{r}{2^r} $ ,故
   $$
   r=2^{r-p}
   $$
   令 $ r-p=n\left( n\geqslant2 \right) $ ，则
   $$
   r=2^n,p=r-n=2^n-n,q=2^n-n+1\left( n\in \mathbb{N},n\geqslant2 \right).
   $$
2. 当 $ p=1 $ 时,有
   $$
   2b_q=\dfrac{1}{2}+b_r
   $$
   所以
   $$
   b_q=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}b_r > \dfrac{1}{4}
   $$
   由于 $ \{b_n\} $ 单调递减,且 $ b_4=\dfrac{1}{4} $ 可得
   $$
   q=2,\text{ 或 } 3
   $$

• 若 $q=2$,有
  $$
  2a_2=a_1+a_r
  $$
  ​ 此时
  $$
  a_r=2a_2-a_1=\dfrac 12
  $$
  ​ 可得 $r=1,$或 $r=2$,与$p < q < r$矛盾.
• 若 $q=3$ ,有
  $$
  2a_3=a_1+a_r
  $$
  ​ 此时
  $$
  a_r=2a_3-a_1=2\times\dfrac {3}{2^3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2^4}
  $$
  ​ 由 数列$\{b_n\}$的单调性，当且仅当 $ r=4 $ 时 ,使 $ b_1,b_3,b_4 $ 为等差数列.

​ 所以， $ p=1,q=3,r=4 $ 满足题意.

综上所述,
$$
\left( p,q,r \right)=\left( 1,3,4 \right)
$$
或
$$
\left(p,q, r \right)=\left( 2^n-n,2^n-n+1,2^n \right)\left( n\in \mathbb{N},n\geqslant2 \right).
$$