斜率之积

题目

(2020 年北京市高考适应性测试理科数学第 20 题)
已知椭圆 C 的短轴的两个端点分别为 A(0,1),B(0,1), 焦距为 23.

  1. 求椭圆 C 的方程;

  2. 已知直线 y=m 与椭圆 C 有两个不同的交点 M,N,D 为直线 AN 上一点,且直线 BD,BM 的斜率的积 为 14.证明:点 Dx 轴上.

    20200310

解析

  1. 由题意 b=1,c=3, 所以 a=b2+c2=2, 所以椭圆方程为 x24+y2=1.
  2. N(x0,y0),M(x0,y0),A(0,1),B(0,1)
    x204+y20=1
    1y20=x204

    所以
    kANkBM=y01x0y0+1x0=1y20x20=x204x20=14

    由题意
    kBDkBM=14

    (1)(2) 可得
    kAN+kBD=0

    D(xD,yD),则由 xA=xB=0,yB=yA
    kAN+kBD=kAD+kBD=yDyAxDxA+yDyBxDxB=2yDxD=0

    所以 yD=0,即 Dx 轴上.