题目
(2020 年北京市高考适应性测试理科数学第 20 题)
已知椭圆 C 的短轴的两个端点分别为 A(0,1),B(0,−1), 焦距为 2√3.
解析
- 由题意 b=1,c=√3, 所以 a=√b2+c2=2, 所以椭圆方程为 x24+y2=1.
- 设 N(x0,y0), 则 M(−x0,y0),A(0,1),B(0,−1)
由 x204+y20=1 得
1−y20=x204
所以
kAN⋅kBM=y0−1x0⋅y0+1−x0=1−y20x20=x204x20=14
由题意
kBD⋅kBM=−14
由 (1) 与 (2) 可得
kAN+kBD=0
设 D(xD,yD),则由 xA=xB=0,yB=−yA 得
kAN+kBD=kAD+kBD=yD−yAxD−xA+yD−yBxD−xB=2yDxD=0
所以 yD=0,即 D 在 x 轴上.