题目

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=\dfrac{1}{2}, a_{n}>0,$ 且 $a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{a_{n}^{2}}{99}$,若存在正整数 $n$ 使得 $a_{n}>1,$ 则 $n$ 的最小值为
$(A) 50$
$(B)51$
$(C) 100$
$(D)101$

解析

由 $a_{1}>0,$ 及 $a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{a_{n}^{2}}{99}$ 可得
$$
a_{n+1}>a_{n}>0
$$
所以 $\dfrac{a_{n}}{a_{n+1}}<1,$ 故
$$
\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n} a_{n+1}}=\frac{a_{n}^{2}}{99 a_{n} a_{n+1}}=\frac{a_{n}}{99 a_{n+1}}<\frac{1}{99}
$$
所以
$$
\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{100}}=\left(\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{2}}\right)+\left(\frac{1}{a_{2}}-\frac{1}{a_{3}}\right)+\left(\frac{1}{a_{3}}-\frac{1}{a_{4}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{a_{99}}-\frac{1}{a_{100}}\right)<\frac{1}{99} \times 99=1
$$
由 $a_{1}=\dfrac{1}{2}$ 代入可解得 $a_{100}<1 .\left(\right.$ 由 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调性知选 $\left.(D)\right)$ .

注意到 $n \leqslant 100$ 时, $a_{n}<1,$ 所以 $n \leqslant 100$ 时有
$$
\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n}}{a_{n}+\frac{a_{n}^{2}}{99}}=\frac{1}{1+\frac{a_{n}}{99}}>\frac{1}{1+\frac{1}{99}}=\frac{99}{100}(n \leqslant 100)
$$
由 (1) 式,
$$
\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \times \frac{1}{99}>\frac{99}{100} \times \frac{1}{99}=\frac{1}{100}
$$
所以
$$
\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{101}}=\left(\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{2}}\right)+\left(\frac{1}{a_{2}}-\frac{1}{a_{3}}\right)+\left(\frac{1}{a_{3}}-\frac{1}{a_{4}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{a_{100}}-\frac{1}{a_{101}}\right)>\frac{1}{100} \times 100=1
$$
由 $a_{1}=\dfrac{1}{2}$ 代入可解得 $a_{101}>1$.