题目

过点 $P(-1,0)$ 作直线交抛物线 $C: y^{2}=4 x $于$ A, B$ 两点， $Q(1,-1),$ 直线 $A M$ 过点 $Q$ 且与抛物线 $C$ 交于 $A, M$ 两点，求证直线 $BM$ 过定点.

解析

设 $A\left(x_{A}, y_{A}\right), B\left(x_{B}, y_{B}\right), M\left(x_{M}, y_{M}\right)$
设直线 $A B$ 的方程为 $x=t y-1,$ 代入 $y^{2}=4 x$ 得
$$
y^{2}-4 t y+4=0
$$
所以 $y_{A} y_{B}=4,$ 所以
$$
y_{A}=\frac{4}{y_{B}}\tag{1} \label{2019121901}
$$
设直线 $A M$ 的方程为 $x=m y+n,$ 代入 $y^{2}=4 x$ 得
$$
y^{2}-4 m y-4 n=0
$$
所以
$$
y_{A}+y_{M}=4 m, \quad y_{A} y_{M}=-4 n\tag{2} \label{2019121902}
$$
将 $Q(1,-1)$ 代入 $x=m y+n$ 可得
$$
n-m=1
$$
结合 $\eqref{2019121902}$ 式，得
$$
y_{A}+y_{M}+y_{A} y_{M}=-4
$$
将 $\eqref{2019121901}$ 代入
$$
\frac{4}{y_{B}}+y_{M}+\frac{4 y_{M}}{y_{B}}=-4
$$
所以
$$
4+y_{B} y_{M}+4\left(y_{M}+y_{B}\right)=0\tag{3} \label{2019121903}
$$
设直线 $B M$ 的方程为 $x=a y+b,$ 代入 $y^{2}=4 x$ 得
$$
y^{2}-4 a y-4 b=0
$$
所以
$$
y_{B}+y_{M}=4 a, \quad y_{B} y_{M}=-4 b
$$
代入 $\eqref{2019121903}$ 式得
$$
4-4 b+16 a=0
$$
所以 $b=4 a+1,$ 所以直线 $B M$ 的方程为
$$
x=a(y+4)+1
$$
所以直线 $BM$ 过定点 $(1,−4)$.