题目

已知 $a_{4}=7,$ 且 $4 S_{n}=n\left(a_{n}+a_{n+1}\right),$ 其中 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，求 $a_{n}$.

解析

令$ a(x)=a_{1}+a_{2} x+a_{3} x^{3}+\cdots$, 则有
$$
S(x)=\frac{a(x)}{1-x}=a(x) \cdot\left(1+x+x^{2}+\cdots\right)=S_{1}+S_{2} x+S_{3} x^{2}+\cdots
$$
设
$$
f(x)=(1+x) a(x)=a_{1}+\left(a_{1}+a_{2}\right) x+\left(a_{2}+a_{3}\right) x^{2}+\cdots
$$
则
$$
f^{\prime}(x)=\left(a_{1}+a_{2}\right)+2\left(a_{2}+a_{3}\right) x+3\left(a_{3}+a_{4}\right) x^{2}+\cdots
$$
由 $4 S_{n}=n\left(a_{n}+a_{n+1}\right)$ 得
$$
4 S(x)=f^{\prime}(x)
$$
所以
$$
\frac{4 a(x)}{1-x}=a(x)+(1+x) a^{\prime}(x)
$$
解得
$$
\frac{a^{\prime}(x)}{a(x)}=\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1-x}
$$
积分得
$$
\ln a(x)=\ln (1+x)-2 \ln (1-x)+C_{1}
$$
所以
$$
a(x)=C_{2} \frac{1+x}{(1-x)^{2}}=C_{2}\left(\frac{2}{(1-x)^{2}}-\frac{1}{1-x}\right)
$$
由
$$
\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots
$$
和
$$
\left(\frac{1}{1-x}\right)^{\prime}=\frac{1}{(1-x)^{2}}=1+2 x+3 x^{2}+\cdots
$$
可得
$$
a(x)=C_{2}\left[2\left(1+2 x+3 x^{2}+\cdots\right)-\left(1+x+x^{2}+\cdots\right)\right]
$$
所以
$$
a(x)=C_{2}\left(1+3 x+5 x^{2}+7 x^{3}+\cdots\right)
$$
注意到 $a_{4}=7 C_{2}=7,$ 所以 $C_{2}=1,$ 所以 $a_{n}=2 n-1$.

练习

已知 $a_{1}=1,$ 且 $6 S_{n}=n\left(a_{n}+a_{n+1}\right),$ 其中 $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n},$ 求 $a_{n}$