虚拟零点与放缩法求最值

题目

已知 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{x}-2 \ln x-a x-1,$ 若 $f(x) \geqslant 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

解法一(虚拟零点)

由 $f(x) \geqslant 0$ 得
$$
a \leqslant \frac{e^{x} x^{2}-2 \ln x-1}{x}
$$
记 $g(x)=\dfrac{e^{x} x^{2}-2 \ln x-1}{x},$ 则
$$
g^{\prime}(x)=\frac{x^{2} e^{x}(x+1)+2 \ln x-1}{x^{2}}
$$
整理得
$$
g^{\prime}(x)=\frac{\left(x^{2} e^{x}-1\right)(x+1)+\ln \left(x^{2} e^{x}\right)}{x^{2}}
$$
注意到 $x^{2} e^{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，且值域为 $(0,+\infty)$,存在唯一的正数 $x_{0}$,使得
$$
x_{0}^{2} e^{x_{0}}=1
$$

1. 当 $x \in\left(0, x_{0}\right)$ 时, $x^{2} e^{x} < x_{0} e^{x_{0}}=1,$ 故
   $$
   x^{2} e^{x}-1<0, \quad \ln \left(x^{2} e^{2}\right)<0
   $$
   ​ 所以 $g^{\prime}(x) < 0, g(x)$ 单调递减.

2. 当$ x \in\left(x_{0},+\infty\right)$ 时, $x^{2} e^{x} > 1,$ 同理 $g^{\prime}(x) > 0, g(x)$ 单调递增.

所以
$$
g(x)_{\min }=g\left(x_{0}\right)=\frac{x_{0}^{2} e^{x_{0}}-2 \ln x_{0}-1}{x_{0}}=\frac{-2 \ln x_{0}}{x_{0}}=\frac{-\ln \left(x_{0}^{2} e^{x_{0}}\right)+x_{0}}{x_{0}}=1
$$
所以 $a \leqslant 1$.

解法二(放缩求最值)

$g(x)$ 同一,由 $e^{t} \geqslant t+1,$ 可得
$$
g(x)=\frac{e^{x} x^{2}-2 \ln x-1}{x}=\frac{e^{x+2 \ln x}-2 \ln x-1}{x} \geqslant \frac{(x+2 \ln x+1)-2 \ln x-1}{x}=1
$$
即 $g(x) \geqslant 1,$ 当且仅当 $x+2 \ln x=0$ 取等号.

由于 $h(x)=x+2 \ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，且
$$
h\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}-2 \ln 2<0, \quad h(1)=1
$$
可得 $x+2 \ln x=0$ 有唯一解，故等号可以取得，所以
$$
g(x)_{\min }=1
$$
所以 $a \leqslant 1$.