题目
已知 $A$、$B$ 是椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}4{}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 上的两个关于原点对称的点，$F$ 为椭圆 $\Gamma$ 的右焦点，直线 $AF$ 与 $BF$ 分别与椭圆 $\Gamma$ 交于点 $C$ 和点 $D$,设直线 $AB$, $CD$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$,是否存在实数 $\lambda$,使得 $k_2=\lambda k_1$,若存在，求出 $\lambda$ 的值:若不存在,说明理由.
解析
设 $A\left(x_{A}, y_{A}\right) B\left(-x_{A},-y_{A}\right), C\left(x_{C}, y_{C}\right), D\left(x_{D}, y_{D}\right)$.
设 $A C$ 的方程为: $x=m y+1$,其中 $m=\dfrac{x_{A}-1}{y_{A}}$.
由 $\left\{\begin{array}{l}{x=m y+1}, \\\ {\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1} \end{array}\right.$ 得 $$ \left(3 m^{2}+4\right) y^{2}+6 m y-9=0 $$ 所以 $$ y_{A} \cdot y_{C}=\frac{-9}{3 m^{2}+4} $$ 故 $$ y_{C}=\frac{-9}{\left(3 m^{2}+4\right) y_{A}}=\frac{-9}{\left(3 \cdot\left(\frac{x_{A}-1}{y_{A}}\right)^{2}+4\right) y_{A}}=\frac{-9 y_{A}}{\left(3 x_{A}^{2}+4 y_{A}^{2}\right)-6 x_{A}+3}$$ 注意到 $3 x_{A}^{2}+4 y_{A}^{2}=12$,所以 $$y_{C}=\frac{-9 y_{A}}{15-6 x_{A}}=\frac{3 y_{A}}{2 x_{A}-5}$$ 所以 $$ x_{C}=\frac{x_{A}-1}{y_{A}} \cdot \frac{3 y_{A}}{2 x_{A}-5}+1=\frac{5 x_{A}-8}{2 x_{A}-5} $$ 同理 $$ x_{D}=\frac{5 x_{A}+8}{2 x_{A}+5} ,\quad y_{D}=\frac{3 y_{A}}{2 x_{A}+5} $$ 所以 $$ k_{C D}=\frac{y_{C}-y_{D}}{x_{C}-x_{D}}=\frac{\frac{3 y_{A}}{2 x_{A}-5}-\frac{3 y_{A}}{2 x_{A}+5}}{\frac{5 x_{A}-8}{2 x_{A}-5}-\frac{5 x_{A}+8}{2 x_{A}+5}}=\frac{5 y_{A}}{3 x_{A}}=\frac{5}{3}k_{AB}$$ 即 $k_2=\dfrac{5}{3}k_1$,所以 $\lambda=\dfrac{5}{3}$.