题目
( 2019 年 3 月山西省高考适应性调研考试理科第 21 题 )
已知函数 $f(x)=(k x-1) e^{x}-k(x-1)$.
若 $f\left( x \right)$ 在 $x=x_0$ 处的切线斜率与 $k$ 无关,求 $x_0$;
若 $\exists x \in \mathbb{R}$,使得 $f(x)<0$ 成立,求整数 $k$ 的最大値.
解析
$f\left( x \right)$的导函数 $$f^{\prime}(x)=(k x+k-1) \mathrm{e}^{x}-k=k\left[(x+1) \mathrm{e}^{x}-1\right]-\mathrm{e}^{x}$$ 由题意 $\left(x_{0}+1\right) e^{x_{0}}-1=0$,令 $g\left( x \right)=(x+1) \mathrm{e}^{x}-1$,
- 当 $x>0$ 时 $g(x)>(0+1)e^0-1=0$;
- 当 $x<-1$ 时，$g(x)=(x+1)e^x-1<-1<0$;
- 当 $-1\leqslant x<0$时,$g’\left( x \right)=(x+2)e^{x}>0$,$g\left( x \right)$递增,$g(x)<g(0)=0$.
所以 $g(x)=0$ 有唯一实根 $x=0$,所以 $x_0=0$.
当 $k=1$ 时,$f(x)=(x-1) e-(x-1)=(e-1)(x-1)$,此时$\exists x=\dfrac{1}{2}$,使得 $$f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}(e-1)<0$$ 当 $k\geqslant2$ 时， $$f(x)=(k x-1) e^{x}-k(x-1)=k(xe^x-x+1)-e^x.$$ 注意到 $x$ 与 $e^x-1$ 同号，所以 $xe^x-x+1=x\left( e^x-1 \right)+1\geqslant 1$,所以 $$f\left( x \right)\geqslant 2\left( xe^x-x+1 \right)-e^x$$ 令 $$F\left( x \right)=2\left( xe^x-x+1 \right)-e^x=1-(1-2 x)\left(e^{x}-1\right)$$
- 若 $x\leqslant0$ 或 $x\geqslant \dfrac{1}{2}$,则 $$(1-2 x)\left(e^{x}-1\right)\leqslant0,$$ 所以 $F\left( x \right)\geqslant 1>0$;
- 若 $0 < x < \dfrac{1}{2}$, 则有 $$ 0 < 1-2x < 1 ,\qquad 0 < e^x-1 < \sqrt{e}-1$$ 所以 $$0 < \left( 1-2x \right)\left( e^x-1 \right) < \sqrt{e}-1,$$ 所以 $$F\left( x \right) > 1-\left( \sqrt{e} -1\right) = 2-\sqrt{e} > 0$$ 所以 $x\in \mathbb{R}$ 时，$F\left( x \right) > 0$.
所以 $k\geqslant2$ 时，$f\left( x \right)\geqslant F\left( x \right)>0$,不存在 $x$,使得 $f\left( x \right)<0$.
综上,整数 $k$ 的最大值为 $1$.