极坐标法求轨迹

赵晚龙 发表于 | 分类于 |

题目

( 2019 年 1 月晋中市高考适应性调研考试理科第 20 题 )
已知点 $P$ 为圆 $F:(x-1)^{2}+y^{2}=16$ 上的动点，点 $E ( - 1,0 )$,线段 $PE$ 的垂直平分线与线段 $PF$ 交于点 $M$,记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$.

  1. 求曲线 $C$ 的方程;
  2. 已知点 $A _ 1 ( - 2,0 ) , A _2( 2,0 )$, 直线 $l$ 过点 $F$ 且与 $x$ 轴不重合，$l$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点 $P , Q$. 证明:直线 $A_1P$ 与 $A_2Q$ 的交点在一条定直线上.

解析

  1. 点 $M$ 在线段 $PE$ 的垂直平分线上，所以 $|MP|=|ME| $,所以
    $$ |ME|+|MF|=|MP|+|MF|=4>|EF|, $$
    由椭圆的定义，$M$ 是以 $E,F$ 为焦点，长轴为 $4$ ,焦距为 $2$ 的椭圆. 所以 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 $.
  2. (方法一) 以 $F$ 为极点，$x$轴为极轴建立极坐标系，则 $C$ 的极坐标方程为 $$ \rho =\dfrac{ep}{1+e\cos\theta}=\dfrac{3}{2+\cos\theta}.$$设 $P(\rho_1,\theta),$ $Q(\rho_2,\theta+\pi)$,所以 $P,Q$ 在原来的直角坐标系中的直角坐标为 $$ P(\rho_1\cos\theta+1,\rho_1\sin\theta),Q(-\rho_2\cos\theta+1,-\rho_2\sin\theta),$$
    直线 $A_1P$ 的斜率为 $$k_1=\dfrac{\rho_1\sin\theta}{\rho_1\cos\theta+3}$$直线 $A_2Q$ 的斜率为 $$k_2=\dfrac{\rho_2\sin\theta}{\rho_2\cos\theta+1}$$
    设直线$A_1P$,$A_2Q$方程为 $$ y=k_1\left( x+2 \right), \qquad y=k_2\left( x-2 \right)$$
    两式消去 $y$ 得 $$ \dfrac{x+2}{x-2}=\dfrac{k_2}{k_1}=\dfrac{\rho_2(\rho_1\cos\theta+3)}{\rho_1(\rho_2\cos\theta+1)}=\dfrac{\cos\theta+\frac{3}{\rho_1}}{\cos\theta+\frac{1}{\rho_2}}$$
    将 $\rho_1=\dfrac{3}{2+\cos\theta},\rho_2=\dfrac{3}{2-\cos\theta}$ 代入上式可得

$$ \dfrac{x+2}{x-2}= \dfrac{\cos\theta+(2+\cos\theta) }{ \cos\theta+\dfrac13 (2-\cos\theta)}=3$$
所以 $x=4$ ,即直线 $A_1P$,$A_2Q$ 交点的横坐标为$4$,所以它们的交点一定在直线 $x=4$ 上.