题目
( 2018 年山西省晋商四校 10 月月考文科第 12 题 )
已知函数 f(x)=ex−ex ， g(x)=ln(2ax+e+1) ,若存在 x0∈(0,1) ，使得 f(x0)=g(x0) 成立，则 a 的取值范围
(A).(−e+12,−e2)
(B).(−e+12,e)
(C).(−∞,−e2)
(D).(−e,−1)
解析
当 0<x<1 时， f′(x)=ex−e<0 ,所以 f(x) 在 (0,1) 单调递减.又 f(0)=1,f(1)=0 ,故 0<f(x)<1.
- 当 a>0 时， g(x) 在定义域 (−e+12a,+∞) 单调递增，所以 x∈(0,1) 时 g(x)>g(0)=ln(e+1)>f(x) (如图 1 ) 不存在 x0 ,使得 f(x0)=g(x0) .
- 当 a=0 时， x∈(0,1) 时 g(x)=ln(e+1)>f(x) (如图 2 ) 不存在 x0 ,使得 f(x0)=g(x0) .
- 当 a<0 时， g(x) 在定义域 (−∞,−e+12a) 上单调递减,
- 若 −e+12a⩽1 ，即 a⩽−e+12 时，注意到 g(0)>f(0),且x→−e+12a时,g(x)→−∞ (如图 3 ) 此时必存在 x0∈(0,−e+12a)⊂(0,1) ,使得 f(x0)=g(x0) .
- 若 −e+12a>1 ，即 −e+12<a<0 时，
- 若 g(1)<f(1)=0 即 −e+12<a<−e2 时，注意到 g(0)>f(0) , (如图 4 )此时必存在 x0∈(0,1) ,使得 f(x0)=g(x0) .
- 若 g(1)⩾f(1)=0 即 −e2⩽a<0 时，易证明 x∈(0,1) 时 f(x)<−x+1<g(x) (如图 5 ) 此时不存在 x0∈(0,1) 使得 f(x0)=g(x0) .
综上， a∈(−∞,−e2) .