题目

已知 $a_1=20$，$5a_{n+1}=4a_n^2+20a_n$，求 $a_n$.

解析

因为 $5a_{n+1}=4a_n^2+20a_n $,所以 $$ 5\left( a_{n+1}+\dfrac{5}{2} \right)=4\left( a_n+\dfrac{5}{2} \right)^2-\dfrac{25}{2} $$ 所以 $$ \dfrac{4}{5}a_{n+1}+2 =\left( \dfrac{4}{5}a_n+2 \right)^2-2 $$ 令 $b_n=\dfrac{4}{5} a_n+2 $,则 $b_1=\dfrac{4}{5}\times 20+2 =18 $,且 $$ b_{n+1}=b_n^2-2 \qquad (1)$$
令 $b_n=2\cosh x_n=e^{x_n}+e^{-x_n} $, 则 $b_1=2\cosh x_1=18 $,且 $$ 2\cosh x_{n+1}=4\cosh ^2x_n-2=2\cosh\left( 2x_n \right) $$ 所以 $x_{n+1}=2x_n $, 所以 $$ x_n=x_1\times 2^{n-1}=\cosh^{-1} \left( 9 \right)\times 2^{n-1} $$ 所以 $$ b_n=2\cosh\left( 2^{n-1}\cosh^{-1}\left( 9 \right) \right)=\dfrac{4}{5}a_n+2 $$ 所以 $$ a_n=\dfrac{5}{2}\cosh\left( 2^{n-1}\cosh^{-1} \left( 9 \right) \right)-\dfrac{5}{2} $$

另解

接 $(1)$式,令 $b_n=x_n+\dfrac{1}{x_n}>2$ 且 $x_n>1$，则$x_1=9+4\sqrt{5}$,且 $$ x_{n+1}+\dfrac{1}{x_{n+1}}=\left( x_n+\dfrac{1}{x_n} \right)^2-2 $$ 所以 $$ \left( \sqrt{x_{n+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_{n+1}}} \right)^2=\left( x_n+\dfrac{1}{x_n} \right)^2 $$ 所以 $$ \sqrt{x_{n+1}}=x_n,\qquad $$ 所以 $$ \ln x_{n+1}=2\ln x_n $$ 所以 $$ \ln x_n=2^{n-1}\ln x_1 $$ 所以 $$ x_n=x_1^{2^{n-1}} $$ 因为 $$ a_n=\dfrac{5}{4}b_n-\dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{4}\left( x_n+x_n^{-1} \right)-\dfrac{5}{2} $$ 所以 $$ a_n=\dfrac{5}{4}\left( \left( 9+4\sqrt{5} \right)^{2^{n-1}}+ \left( 9-4\sqrt{5} \right)^{2^{n-1}}-2\right) $$