题目

如图，在 $\triangle ABC$ 中， $AD\perp AC$ 且 $AD$ 交 $BC$ 于点 $D$ ， $3\angle B+4\angle C=180^\circ$ ， $BD=2$ ， $CD=7$ ,求 $AB$ 的长.

分析

如何使用条件 $3\angle B+4\angle C=180^\circ$ ，注意到 $\angle A$ 的外角为 $B+C$ ，且

$3B+4C= \left( B+C \right)+\left( B+C \right)+\left( B+2C \right)=180^\circ$ 可以构造三个内角为

$B+C$ 、

$B+2C$ 的等腰三角形，从而可得下述解法.

如图,作 $CE$ 交 $BA$ 的延长线于点 $E$ 使得 $\angle ACE=B+C$ , 所以

$\angle EAC=\angle ECA =B+C$ 因为

$3B+4C=180^\circ$ ,所以

$\angle AEC =180^\circ-\angle EAC-\angle ECA =\left( 3B+4C \right)-\left( B+C \right)-\left( B+C \right) =B+2C$ 又

$\angle BCE=\angle C+\angle ACE=B+2C$ ，故

$\angle AEC=\angle BCE$ 所以

$BC=BE=2+7=9.$ 设

$F$ 为

$AC$ 的中点，连接

$EF$ 并延长交

$BC$ 于点

$O$ ,
因为

$\angle EAC=\angle ECA$ ,所以

$EF\perp AC$ ,
又

$DA\perp AC$ ，

$AF=FC$ ，所以

$EO//DA \quad \wedge \quad OD=OC=\dfrac 72$ 所以

$\dfrac{BA}{BE}=\dfrac{BD}{BO}$ 即

$\dfrac{AB}{9}=\dfrac{2}{2+\frac72}$ 所以

$AB=\dfrac{36}{11}$ .