题目
设 $\alpha ,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) $ ，且 $\sin ^2\alpha +\sin^2\beta =\sin (\alpha +\beta )$，求证 $\alpha +\beta=\dfrac{\pi}{2} $．
解法一
由题式 $$\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ 所以 $$\sin\alpha\left( \sin\alpha-\cos\beta \right)=\sin\beta\left( \cos\alpha-\sin\beta \right)\qquad (1)$$ 由 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\sin^2\beta+\cos^2\beta$得 $$\sin^2\alpha-\cos^2\beta=\sin^2\beta-\cos^2\alpha$$ 所以 $$ \left( \sin\alpha+\cos\beta \right)\left( \sin\alpha-\cos\beta \right)=\left( \sin\beta+\cos\alpha \right)\left( \sin\beta-\cos\alpha \right)\qquad (2) $$ $(1)\times(2)$ 得 $$ \sin\alpha\left( \sin\alpha+\cos\beta \right)\left( \sin\alpha-\cos\beta \right)^2=-\sin\beta\left( \sin\beta+\cos\alpha \right)\left( \sin\beta-\cos\alpha \right)^2 $$ 即 $$ \sin\alpha\left( \sin\alpha+\cos\beta \right)\left( \sin\alpha-\cos\beta \right)^2+\sin\beta\left( \sin\beta+\cos\alpha \right)\left( \sin\beta-\cos\alpha \right)^2=0 \qquad (3)$$ 因为 $\alpha,\beta\in\left( 0,\dfrac{\pi}{2} \right)$, 所以 $$\sin\alpha>0,\cos\alpha>0,\sin\beta>0,\cos\beta>0,$$ 在 $\left( 3 \right)$ 式中必有 $$\left( \sin\alpha-\cos\beta \right)^2=\left( \cos\alpha-\sin\beta \right)^2=0$$ 所以 $\sin\alpha=\cos\beta$ 且 $\cos\alpha=\sin\beta$.即 $$\sin\alpha=\sin\left( \dfrac{\pi}{2}-\beta \right)\quad \text{且}\quad \cos\alpha=\cos\left( \dfrac{\pi}{2}-\beta \right) $$ 注意到 $\alpha,\beta\in\left( 0,\dfrac{\pi}{2} \right)$,所以 $\alpha=\dfrac{\pi}{2}-\beta$,即 $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$.
解法二
由题设 $$\sin^2\alpha=\sin\left( \alpha+\beta \right)-\sin^2\beta \leqslant 1-\sin^2\beta=\cos^2\beta,$$ 所以 $\sin^2\alpha\leqslant \cos^2\beta$,因为 $\alpha,\beta\in\left( 0,\dfrac{\pi}{2} \right)$,所以 $$ \cos\beta\geqslant\sin\alpha>0\qquad (1)$$ 同理 $$ \cos\alpha\geqslant\sin\beta>0\qquad(2)$$ 由 $\left( 1 \right)$，$\left( 2 \right)$ 得 $$\sin\left( \alpha+\beta \right)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\geqslant \sin^2\alpha+\sin^2\beta.$$ 当且仅当 $\sin\alpha=\cos\beta$ 且 $\cos\alpha=\sin\beta$ 时等式成立. 由 $\alpha,\beta\in\left( 0,\dfrac{\pi}{2} \right)$ 易得 $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$.