题目
已知函数 $ f(x)=2\cos\left( 2x+\varphi \right),\left( |\varphi| < \dfrac{\pi}{2} \right) $ 在区间 $ (\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{12}] $ 上单调,则 $ 2\sin\left( \varphi-\dfrac{\pi}{3} \right) $ 的取值范围是
$ (A).(-1,1]\quad (B).[-\sqrt{3},1]\quad (C),(-2,-1]\quad (D).[-2,-1] $
解析
由 $ 2x+\varphi=k\pi,\left( k\in \mathbb{Z} \right) $ 得 $ f\left(x\right) $ 对称轴为 $$ x=\dfrac{k\pi-\varphi}{2}, \left( k\in \mathbb{Z} \right) $$ 函数 $ f(x) $ 在区间 $ (\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{12}] $ 上单调,等价于对称轴不在区间内部，所以 $$ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{k\pi-\varphi}{2}\leqslant \dfrac{\pi}{6},\\\ \dfrac{(k+1)\pi-\varphi}{2}\geqslant \dfrac{5\pi}{12}, \end{array} \right. $$ 解得 $$ k\pi-\dfrac{\pi}{3}\leqslant \varphi\leqslant k\pi+\dfrac{\pi}{6},\left( k\in \mathbb{Z} \right) $$ 因为 $ \left| \varphi \right| < \dfrac{\pi}{2} $ , 所以 $ k=0 $ , 所以 $$ -\dfrac{\pi}{3}\leqslant\varphi\leqslant \dfrac{\pi}{6} $$ 所以 $$ -\dfrac{2\pi}{3}\leqslant\varphi-\dfrac{\pi}{3}\leqslant -\dfrac{\pi}{6} $$ 所以 $$ -1\leqslant \sin\left( \varphi-\dfrac{\pi}{3} \right)\leqslant -\dfrac{1}{2} $$ 所以 $ 2\sin\left( \varphi-\dfrac{\pi}{3} \right) $ 的取值范围是 $ \left[ -2,-1 \right] $. 所以选 $ (D), $